1) Найдите все первообразные функции f(x)=x5-x2. 2) Решите уравнение: sin (п+х)=cos (-п/3). 3) Найдите...

1) Найдите все первообразные функции (f(x) = x^5 - x^2).

Первообразная функции (f(x)) (или интеграл ( \int f(x) dx)) находится по правилу: ( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C), где (C) — произвольная константа.

[ f(x) = x^5 - x^2 ] [ \int f(x) dx = \int x^5 dx - \int x^2 dx ] [ \int x^5 dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} = \frac{x^6}{6}, \quad \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}. ] Таким образом, первообразная: [ F(x) = \frac{x^6}{6} - \frac{x^3}{3} + C. ]

Ответ: (F(x) = \frac{x^6}{6} - \frac{x^3}{3} + C), где (C) — произвольная константа.

2) Решите уравнение: (\sin(\pi + x) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)).

Шаг 1. Упростим левую и правую части.

Из свойства синуса: (\sin(\pi + x) = -\sin(x)).

Из свойства косинуса: (\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}).

Таким образом, уравнение принимает вид: [ -\sin(x) = \frac{1}{2}. ]

Шаг 2. Найдем (\sin(x)): [ \sin(x) = -\frac{1}{2}. ]

Шаг 3. Решим уравнение.

Синус равен (-\frac{1}{2}) в III и IV четвертях. Общий вид решений: [ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{(IV четверть)}, ] [ x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{(III четверть)}, ] где (n \in \mathbb{Z}).

Ответ: (x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n) или (x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n), (n \in \mathbb{Z}).

3) Найдите значение (\cos(\alpha)), если известно, что (\sin(\alpha) = \frac{1}{3}) и (\alpha) принадлежит I четверти.

Шаг 1. Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1. ] Подставим (\sin(\alpha) = \frac{1}{3}): [ \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1. ] [ \frac{1}{9} + \cos^2(\alpha) = 1. ] [ \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}. ]

Шаг 2. Найдем (\cos(\alpha)).

Так как (\alpha) принадлежит I четверти ((\cos(\alpha) > 0)): [ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}. ]

Ответ: (\cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{2}}{3}).

4) Решите неравенство (\log_7(2x - 1) < 2).

Шаг 1. Преобразуем логарифмическое неравенство.

По определению логарифма: (\log_a(b) = c \Rightarrow b = a^c).

[ \log_7(2x - 1) < 2 \quad \Rightarrow \quad 2x - 1 < 7^2. ] [ 2x - 1 < 49. ]

Шаг 2. Решим линейное неравенство. [ 2x < 49 + 1. ] [ 2x < 50 \quad \Rightarrow \quad x < 25. ]

Шаг 3. Учитываем область определения логарифма.

Подлогарифмическое выражение (2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}).

Ответ: (\frac{1}{2} < x < 25).

5) Решите неравенство ((x - 2)(x - 9) \geq 0).

Шаг 1. Найдем нули функции.

Произведение равно нулю, если (x - 2 = 0) или (x - 9 = 0): [ x = 2, \quad x = 9. ]

Шаг 2. Определим знаки произведения в интервалах.

Разобьем числовую прямую на интервалы: ((-\infty, 2)), ((2, 9)), ((9, +\infty)). Подставляя значения из каждого интервала в выражение ((x - 2)(x - 9)), определим знак:

• На ((-\infty, 2)): произведение отрицательное ((- \cdot -)).
• На ((2, 9)): произведение отрицательное.

**Шаг 1. .

1) Первообразная функция ( f(x) = x^5 - x^2 ) равна ( F(x) = \frac{x^6}{6} - \frac{x^3}{3} + C ), где ( C ) — произвольная константа.

2) Уравнение ( \sin(\pi + x) = \cos(-\frac{\pi}{3}) ) можно переписать как ( \sin(\pi + x) = \frac{1}{2} ). Решение: ( x = \frac{1}{2} + 2k\pi ) или ( x = \frac{3}{2} + 2k\pi ), где ( k ) — целое число.

3) Известно, что ( \sin a = \frac{1}{3} ). Используя теорему Пифагора: ( \cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} ). Таким образом, ( \cos a = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} ).

4) Неравенство ( \log_7 (2x - 1) < 2 ) эквивалентно ( 2x - 1 < 7^2 ), т.е. ( 2x < 50 ) или ( x < 25 ). При этом ( 2x - 1 > 0 ) дает ( x > \frac{1}{2} ). Таким образом, ( \frac{1}{2} < x < 25 ).

5) Неравенство ( (x - 2)(x - 9) \geq 0 ) имеет корни ( x = 2 ) и ( x = 9 ), и оно выполняется при ( x \leq 2 ) или ( x \geq 9 ).

6) Если ( \cos a = -\frac{5}{13} ) и ( a ) принадлежит III четверти, то ( \sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} ). Следовательно, ( \sin a = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} ) (в III четверти синус отрицательный).

Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

1) Найдите все первообразные функции ( f(x) = x^5 - x^2 ).

Чтобы найти первообразные (или неопределённые интегралы) функции ( f(x) ), нам нужно вычислить интеграл:

[ \int (x^5 - x^2) \, dx ]

Мы можем разбить это на два отдельных интеграла:

[ \int x^5 \, dx - \int x^2 \, dx ]

Теперь найдем каждый из интегралов:

1. (\int x^5 \, dx = \frac{x^6}{6} + C_1)
2. (\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_2)

Соберем это вместе:

[ \int (x^5 - x^2) \, dx = \frac{x^6}{6} - \frac{x^3}{3} + C ]

где ( C = C_1 - C_2 ) — произвольная константа. Таким образом, все первообразные функции для ( f(x) ) будут записываться в виде:

[ F(x) = \frac{x^6}{6} - \frac{x^3}{3} + C ]

2) Решите уравнение: ( \sin(\pi + x) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) ).

Сначала найдем значение ( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) ):

[ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} ]

Теперь у нас есть уравнение:

[ \sin(\pi + x) = \frac{1}{2} ]

Согласно свойствам синуса, ( \sin(\pi + x) = -\sin(x) ). Таким образом, уравнение можно переписать как:

[ -\sin(x) = \frac{1}{2} ]

Следовательно:

[ \sin(x) = -\frac{1}{2} ]

Синус равен (-\frac{1}{2}) в третьей и четвертой четверти:

[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

3) Найдите значение ( \cos a ), если известно, что ( \sin a = \frac{1}{3} ) и ( a ) принадлежит I четверти.

Используем основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ]

Подставим значение ( \sin a ):

[ \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \implies \frac{1}{9} + \cos^2 a = 1 ]

Решим уравнение:

[ \cos^2 a = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} ]

Следовательно:

[ \cos a = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} ]

Так как ( a ) принадлежит I четверти, мы берем положительное значение.

4) Решите неравенство ( \log_7(2x - 1) < 2 ).

Для решения неравенства сначала преобразуем его в экспоненциальную форму:

[ 2x - 1 < 7^2 ]

Решаем:

[ 2x - 1 < 49 \implies 2x < 50 \implies x < 25 ]

Также учтем область определения логарифма:

[ 2x - 1 > 0 \implies x > \frac{1}{2} ]

Итак, неравенство ( \frac{1}{2} < x < 25 ).

5) Решите неравенство ( (x - 2)(x - 9) \geq 0 ).

Найдем нули выражения:

[ x - 2 = 0 \implies x = 2 ] [ x - 9 = 0 \implies x = 9 ]

Теперь определим промежутки, где произведение больше или равно нуля:

1. ( (-\infty, 2) ) - знак отрицательный.
2. ( (2, 9) ) - знак положительный.
3. ( (9, +\infty) ) - знак положительный.

Таким образом, неравенство ( (x - 2)(x - 9) \geq 0 ) выполняется на интервалах:

[ x \in (-\infty, 2] \cup [9, +\infty) ]

6) Найдите значение ( \cos a ), если известно, что ( \cos a = -\frac{5}{13} ) и ( a ) принадлежит III четверти.

Снова используем основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ]

Подставим известное значение ( \cos a ):

[ \sin^2 a + \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 ]

Решаем:

[ \sin^2 a + \frac{25}{169} = 1 \implies \sin^2 a = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} ]

Следовательно:

[ \sin a = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} ]

Так как ( a ) принадлежит III четверти, синус будет отрицательным.

Ответы:

1) ( F(x) = \frac{x^6}{6} - \frac{x^3}{3} + C ) 2) ( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi ) 3) ( \cos a = \frac{2\sqrt{2}}{3} ) 4) ( \frac{1}{2} < x < 25 ) 5) ( x \in (-\infty, 2] \cup [9, +\infty) ) 6) ( \sin a = -\frac{12}{13} ) (для ( \cos a = -\frac{5}{13} ) в III четверти).