15. Основания трапеции равны 16 и 22, боковая сторона, равная 10, образует с одним из оснований трапеции...

1. Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой: S = (a + b) h / 2, где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции. У нас a = 16, b = 22, h - высота, которую нам нужно найти. Для нахождения высоты воспользуемся тригонометрией: h = 10 sin(30°) = 10 0.5 = 5. Теперь можем найти площадь трапеции: S = (16 + 22) 5 / 2 = 38 * 5 / 2 = 95.

2. Объем правильной четырехугольной пирамиды можно найти по формуле: V = (1/3) S h, где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды. Площадь основания равна S = 6^2 = 36. Теперь найдем высоту пирамиды с помощью теоремы Пифагора: h = sqrt(34 - 3^2) = sqrt(25) = 5. Теперь можем найти объем пирамиды: V = (1/3) 36 5 = 60.

Давайте решим каждый из представленных вопросов по математике отдельно.

Вопрос 15: Основания трапеции равны 16 и 22, боковая сторона, равная 10, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.

Для начала обозначим трапецию как ( ABCD ), где ( AB ) и ( CD ) - основания, ( AB = 16 ), ( CD = 22 ), а боковая сторона ( AD = 10 ), которая образует угол ( 150° ) с основанием ( AB ).

1. Проведем высоту: Проведем высоту ( h ) из точки ( D ) на прямую ( AB ), обозначим точку пересечения как ( H ). Нам нужно найти длину ( DH ).

2. Рассмотрим треугольник ( ADH ): В треугольнике ( ADH ), угол ( \angle ADH = 180° - 150° = 30° ).

3. Используем тригонометрию: Мы можем найти ( DH ) (высоту трапеции) через боковую сторону ( AD = 10 ) и угол ( \angle ADH = 30° ) с помощью синуса: [ DH = AD \cdot \sin(30°) = 10 \cdot 0.5 = 5 ]

4. Найдем длину отрезка ( AH ): Используем косинус для нахождения ( AH ): [ AH = AD \cdot \cos(30°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} ]

5. Найдем длину отрезка ( BH ): Поскольку ( AB = AH + BH = 16 ), находим ( BH ): [ BH = AB - AH = 16 - 5\sqrt{3} ]

6. Найдем длину отрезка ( HC ): Зная, что ( CD = 22 ) и ( HC = BH ), получаем: [ HC = BH + (CD - AB) = 16 - 5\sqrt{3} + (22 - 16) = 22 - 5\sqrt{3} ]

7. Площадь трапеции: Используем формулу площади трапеции: [ S = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h = \frac{1}{2} \times (16 + 22) \times 5 = \frac{1}{2} \times 38 \times 5 = 95 ]

Таким образом, площадь трапеции равна ( 95 ) квадратных единиц.

Вопрос 16: Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6, а боковое ребро равно (\sqrt{34}). Найдите объем пирамиды.

1. Основание правильной четырехугольной пирамиды: Основание - квадрат со стороной 6. Площадь основания ( S{\text{осн}} ) равна: [ S{\text{осн}} = 6 \times 6 = 36 ]

2. Высота пирамиды: Обозначим высоту пирамиды как ( h ). Для этого рассмотрим боковое ребро и высоту пирамиды в треугольнике, образованном апофемой пирамиды.

   Апофема (высота боковой грани) ( a ) будет: [ a = \sqrt{h^2 + \left(\frac{\text{сторона основания}}{2}\right)^2} = \sqrt{h^2 + 3^2} = \sqrt{h^2 + 9} ]

3. Связь бокового ребра и апофемы: Из условия задачи, боковое ребро равно ( \sqrt{34} ): [ \sqrt{34} = \sqrt{h^2 + 9} ] Квадратим обе стороны: [ 34 = h^2 + 9 ] [ h^2 = 34 - 9 = 25 ] [ h = \sqrt{25} = 5 ]

4. Объем пирамиды: Объем пирамиды ( V ) вычисляется по формуле: [ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h = \frac{1}{3} \times 36 \times 5 = \frac{180}{3} = 60 ]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен ( 60 ) кубических единиц.

1. Площадь трапеции равна 180 квадратных единиц.
2. Объем пирамиды равен 24 кубическим единицам.