1)Дан треугольник ABC с вершинами А (11;-2;-9), В (2;6;-4) С (8;-6;-8) а) Найдите координаты середины...

Давайте разберем каждый из пунктов по очереди.

1) Треугольник ABC с вершинами A (11, -2, -9), B (2, 6, -4), C (8, -6, -8)

а) Найдите координаты середины отрезка BC

Координаты середины отрезка можно найти по формуле средней точки:

[ M_{BC} = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right) ]

Подставляем значения:

[ M_{BC} = \left( \frac{2 + 8}{2}, \frac{6 - 6}{2}, \frac{-4 - 8}{2} \right) = (5, 0, -6) ]

б) Найдите координаты и длину вектора BC

Координаты вектора ( \overrightarrow{BC} ) находятся по формуле разности координат точек C и B:

[ \overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) ]

Подставляем значения:

[ \overrightarrow{BC} = (8 - 2, -6 - 6, -8 + 4) = (6, -12, -4) ]

Длина вектора ( \overrightarrow{BC} ) находится по формуле:

[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2} ]

Подставляем значения:

[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{6^2 + (-12)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 144 + 16} = \sqrt{196} = 14 ]

в) Найдите вектор AB + BC

Сначала найдем координаты вектора ( \overrightarrow{AB} ):

[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (2 - 11, 6 + 2, -4 + 9) = (-9, 8, 5) ]

Теперь складываем векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{BC} ):

[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (-9, 8, 5) + (6, -12, -4) = (-3, -4, 1) ]

г) Докажите перпендикулярность векторов AB и AC

Найдем координаты вектора ( \overrightarrow{AC} ):

[ \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (8 - 11, -6 + 2, -8 + 9) = (-3, -4, 1) ]

Для проверки перпендикулярности нужно убедиться, что скалярное произведение векторов равно нулю:

[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-9)(-3) + 8(-4) + 5(1) = 27 - 32 + 5 = 0 ]

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.

2) Треугольник с вершинами A (1, 3, 0), B (1, 0, 4), C (-2, 1, 6)

Найдем векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ):

[ \overrightarrow{AB} = (1 - 1, 0 - 3, 4 - 0) = (0, -3, 4) ]

[ \overrightarrow{AC} = (-2 - 1, 1 - 3, 6 - 0) = (-3, -2, 6) ]

Найдем скалярное произведение векторов:

[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0(-3) + (-3)(-2) + 4(6) = 0 + 6 + 24 = 30 ]

Найдем длины векторов:

[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7 ]

Теперь найдем косинус угла ( A ):

[ \cos A = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{30}{5 \times 7} = \frac{30}{35} = \frac{6}{7} ]

3) Параллелограмм ABCD с вершинами A (0, 2, -3), B (-1, 1, 1), C (2, -2, -1)

Для нахождения координат четвертой вершины D используем свойство параллелограмма: векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{CD} ) равны, а также ( \overrightarrow{BC} ) и ( \overrightarrow{AD} ) равны.

Найдем ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{BC} ):

[ \overrightarrow{AB} = (-1 - 0, 1 - 2, 1 + 3) = (-1, -1, 4) ]

[ \overrightarrow{BC} = (2 + 1, -2 - 1, -1 - 1) = (3, -3, -2) ]

Теперь найдём координаты точки D, используя ( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} ):

[ \overrightarrow{AD} = (3, -3, -2) ]

Зная, что ( \overrightarrow{AD} = (x_D - 0, y_D - 2, z_D + 3) ), получаем:

[ x_D = 3, \quad y_D = -1, \quad z_D = -5 ]

Таким образом, координаты точки D: ( D(3, -1, -5) ).

Вот и все решения! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.

а) Координаты середины отрезка ВС можно найти как среднее арифметическое координат вершин В и С: Середина ВС: ((2+8)/2; (6-6)/2; (-4-8)/2) = (5; 0; -6)

б) Для вычисления вектора ВС нужно вычесть координаты вершины В из координат вершины С: Вектор ВС: (8-2; -6-6; -8-(-4)) = (6; -12; -4) Длина вектора ВС: √(6^2 + (-12)^2 + (-4)^2) = √(36 + 144 + 16) = √196 = 14

в) Вектор АВ + ВС можно найти, сложив соответствующие координаты векторов: Вектор АВ: (2-11; 6-(-2); -4-(-9)) = (-9; 8; 5) Вектор АВ + ВС: (-9+6; 8+(-12); 5+(-4)) = (-3; -4; 1)

г) Для доказательства перпендикулярности векторов АВ и АС нужно убедиться, что их скалярное произведение равно нулю: Скалярное произведение векторов АВ и АС: (-91 + 86 + 5*(-8)) = (-9 + 48 - 40) = -1 ≠ 0 Следовательно, векторы АВ и АС не перпендикулярны.

2) Для нахождения косинуса угла А в треугольнике АВС, можно воспользоваться формулой косинуса: cos(A) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 BC AC) где BC, AC и AB - длины сторон треугольника. Подставляем значения и находим косинус угла А.

3) Для нахождения координат четвертой вершины параллелограмма можно воспользоваться свойством параллелограмма, что диагонали его делятся пополам: Координаты вершины D: (А + С - В) = (0+2-(-1); 2+(-2)+1; -3+(-1)-1) = (3; 1; -5)