1)Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12, высота призмы...

1) Задача: Найти площадь поверхности и объем прямой треугольной призмы

Дано:

• Катеты основания: 5 см и 12 см
• Гипотенуза основания: по теореме Пифагора ( c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 ) см
• Высота призмы: 8 см

Объем призмы (V): [ V = \text{площадь основания} \times \text{высота} ] [ V = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 \times 8 = 30 \times 8 = 240 \text{ см}^3 ]

Площадь поверхности: [ S{\text{пов}} = 2 \times (\text{площадь основания}) + (\text{площадь боковых граней}) ] [ S{\text{пов}} = 2 \times \frac{1}{2} \times 5 \times 12 + 2 \times (5 \times 8 + 12 \times 8 + 13 \times 8) ] [ S_{\text{пов}} = 30 + 2 \times (40 + 96 + 104) = 30 + 480 = 510 \text{ см}^2 ]

2) Задача: Найти площадь поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда

Дано:

• Одна из сторон основания: (a = 12) см
• Диагональ основания: 15 см
• Высота параллелепипеда: 15 см

По теореме Пифагора другая сторона основания (b): [ b = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ см} ]

Объем параллелепипеда (V): [ V = a \times b \times \text{высота} = 12 \times 9 \times 15 = 1620 \text{ см}^3 ]

Площадь полной поверхности: [ S{\text{пов}} = 2(ab + ac + bc) ] [ S{\text{пов}} = 2(12 \times 9 + 12 \times 15 + 9 \times 15) = 2(108 + 180 + 135) = 2 \times 423 = 846 \text{ см}^2 ]

3) Задача: Найти боковое ребро SC правильной четырехугольной пирамиды SABCD

Дано:

• (SO = 8) см
• (BD = 30) см
• (ABCD) - квадрат, (BD) - диагональ, поэтому (AB = \frac{BD}{\sqrt{2}} = \frac{30}{\sqrt{2}} = 15\sqrt{2}) см

Боковое ребро (SC): [ SC = \sqrt{SO^2 + (\text{половина } AB)^2} ] [ SC = \sqrt{8^2 + \left( \frac{15\sqrt{2}}{2} \right)^2} = \sqrt{64 + \frac{450}{4}} = \sqrt{64 + 112.5} = \sqrt{176.5} ]

Таким образом, (SC \approx 13.29) см (приблизительно).

1) Площадь поверхности прямой треугольной призмы равна 296, объем равен 240. 2) Площадь полной поверхности параллелепипеда равна 840, объем равен 1800. 3) Боковое ребро SC равно 20.

1) Для нахождения площади поверхности прямой треугольной призмы сначала найдем площадь основания. Для этого используем формулу площади прямоугольного треугольника: S = 0.5 a b, где a и b - катеты. S = 0.5 5 12 = 30 кв.ед.

Площадь боковой поверхности призмы вычисляется как сумма площадей треугольных граней: Sб = a h, где a - периметр основания, h - высота призмы. Периметр основания равен 5 + 12 + 13 = 30, поскольку гипотенуза треугольника равна 13 (по теореме Пифагора). Sб = 30 8 = 240 кв.ед.

Общая площадь поверхности призмы равна сумме площади основания и боковой поверхности: S = Sосн + Sб = 30 + 240 = 270 кв.ед.

Объем прямой треугольной призмы вычисляется по формуле: V = Sосн h, где Sосн - площадь основания, h - высота призмы. V = 30 8 = 240 куб.ед.

2) Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней. По условию известно, что одна из сторон равна 12 см, а диагональ основания равна 15 см. Используем формулу Пифагора для нахождения второй стороны прямоугольника: a^2 + b^2 = c^2, где a и b - катеты, c - гипотенуза. 12^2 + b^2 = 15^2, b^2 = 15^2 - 12^2, b^2 = 225 - 144, b = √81 = 9 см.

Теперь можем найти площадь полной поверхности параллелепипеда: Sп = 2(ab + bc + ac) = 2(129 + 1215 + 915) = 2(108 + 180 + 135) = 2 423 = 846 кв.см.

Объем параллелепипеда вычисляется как произведение его трех сторон: V = a b h = 12 9 15 = 1620 куб.см.

3) Для нахождения бокового ребра SC правильной четырехугольной пирамиды SABCD воспользуемся теоремой Пифагора. Известно, что SO = 8 и BD = 30, то есть BO = 15 (половина диагонали основания). Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BSO, где BS - боковое ребро пирамиды, а SO и BO - известные катеты. Применяя теорему Пифагора, получаем: BS^2 = SO^2 + BO^2, BS^2 = 8^2 + 15^2, BS^2 = 64 + 225, BS = √289 = 17.

Таким образом, боковое ребро SC равно 17.