1)В школьной секции по шахматам занимаются 12 мальчиков и 5 девочек.На соревнования надо выбрать 4 мальчика...

1) Это можно сделать 12!/(4! 8!) 5!/(2! * 3!) = 4950 способами.

2) Это можно сделать 15!/(5! 5! 5!) = 756 способами.

1) Для выбора 4 мальчиков из 12 возможных способов: C(12,4) = 495. Для выбора 2 девочек из 5 возможных способов: C(5,2) = 10. Итого количество способов выбрать 4 мальчика и 2 девочки: 495 * 10 = 4950.

2) Сначала выберем 5 человек из 15 для первой группы: C(15,5) = 3003. Затем выберем 5 человек из оставшихся 10 для второй группы: C(10,5) = 252. Оставшиеся 5 человек составят третью группу. Итого количество способов разделить группу из 15 человек на 3 группы: 3003 * 252 = 756756.

Рассмотрим два вопроса по очереди.

Вопрос 1: Сколькими способами можно выбрать 4 мальчика и 2 девочки из группы в 12 мальчиков и 5 девочек?

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться комбинаторикой, в частности, комбинациями без повторений.

1. Выбор 4 мальчиков из 12: Количество способов выбрать 4 мальчиков из 12 можно определить с помощью биномиального коэффициента (\binom{n}{k}), который вычисляется как: [ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ] В данном случае (n = 12) и (k = 4): [ \binom{12}{4} = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} ]

2. Выбор 2 девочек из 5: Количество способов выбрать 2 девочек из 5 также определяется с помощью биномиального коэффициента: [ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} ]

Теперь вычислим эти значения:

• (\binom{12}{4}): [ \binom{12}{4} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495 ]

• (\binom{5}{2}): [ \binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 ]

Теперь, чтобы найти общее количество способов выбрать 4 мальчика и 2 девочки, нужно перемножить эти значения: [ 495 \times 10 = 4950 ]

Таким образом, 4 мальчика и 2 девочки можно выбрать 4950 способами.

Вопрос 2: Сколькими способами группу из 15 человек можно поделить на 3 группы по 5 человек?

Для решения этой задачи также воспользуемся комбинаторикой, но нужно учесть, что порядок групп не имеет значения.

1. Выбор первой группы из 5 человек из 15: Количество способов выбрать 5 человек из 15: [ \binom{15}{5} = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} ]

2. Выбор второй группы из оставшихся 10 человек: Количество способов выбрать 5 человек из 10: [ \binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} ]

3. Выбор третьей группы из оставшихся 5 человек: Количество способов выбрать 5 человек из 5: [ \binom{5}{5} = 1 ]

Теперь перемножим все эти значения: [ \binom{15}{5} \times \binom{10}{5} \times \binom{5}{5} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} \times \frac{10!}{5! \cdot 5!} \times 1 = \frac{15!}{(5!)^3} ]

Однако, так как порядок групп не имеет значения, мы делим на количество перестановок этих трёх групп (3!): [ \frac{1}{3!} = \frac{1}{6} ]

Таким образом, окончательная формула: [ \frac{15!}{(5!)^3 \times 6} ]

Вычислим числовое значение: [ 15! = 1307674368000 ] [ (5!)^3 = (120)^3 = 1728000 ] [ 6 = 6 ]

Теперь подставим эти значения в формулу: [ \frac{1307674368000}{1728000 \times 6} = \frac{1307674368000}{10368000} = 1260 ]

Итак, группу из 15 человек можно поделить на 3 группы по 5 человек 1260 способами.