√(2-3x)ln(16x^2-a^2)=√(2-3x)ln(4x+a) Найти все а; при которых уравнение имеет ровно 1 решение

a = 0.

Для того чтобы уравнение имело ровно одно решение, необходимо чтобы левая и правая части были эквивалентными.

Это возможно только если аргументы логарифмов равны между собой, то есть: √(2-3x) = 4x + a

Таким образом, мы получаем следующее уравнение: (2-3x) = (4x + a)^2

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим: 2 - 3x = 16x^2 + 8ax + a^2

Приведем уравнение к виду квадратного уравнения: 16x^2 + (8a - 3)x + (a^2 - 2) = 0

Для того чтобы уравнение имело ровно одно решение, дискриминант должен быть равен нулю: D = (8a - 3)^2 - 416(a^2 - 2) = 0 64a^2 - 48a + 9 - 64a^2 + 128 = 0 -48a + 137 = 0 a = 137/48

Таким образом, при a = 137/48 уравнение √(2-3x)ln(16x^2-a^2)=√(2-3x)ln(4x+a) имеет ровно одно решение.

Для того чтобы уравнение (\sqrt{2-3x} \ln(16x^2-a^2) = \sqrt{2-3x} \ln(4x+a)) имело ровно одно решение, необходимо рассмотреть несколько аспектов.

Шаг 1: Область определения

1. Корень: (\sqrt{2-3x}) определён, когда (2-3x \geq 0), то есть (x \leq \frac{2}{3}).

2. Логарифмы: (\ln(16x^2-a^2)) и (\ln(4x+a)) определены, когда их аргументы положительны.

   • (16x^2 - a^2 > 0) даёт (16x^2 > a^2) или (|x| > \frac{a}{4}).
   • (4x + a > 0) даёт (x > -\frac{a}{4}).

Шаг 2: Упрощение уравнения

Условие (\sqrt{2-3x} \neq 0) (чтобы можно было делить на него) требует (2-3x > 0), то есть (x < \frac{2}{3}).

При этом условии уравнение упрощается до:

[ \ln(16x^2-a^2) = \ln(4x+a) ]

Отсюда получаем:

[ 16x^2 - a^2 = 4x + a ]

Решая это уравнение относительно (x), имеем:

[ 16x^2 - 4x - a^2 - a = 0 ]

Шаг 3: Количество решений

Это квадратное уравнение относительно (x). У него будет ровно одно решение, если его дискриминант равен нулю:

[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-a^2-a) = 16 + 64(a^2+a) ]

Условие равно единице:

[ 16 + 64(a^2+a) = 0 ]

Решим относительно (a):

[ 64(a^2+a) = -16 ]

[ a^2 + a + \frac{1}{4} = 0 ]

[ (a + \frac{1}{2})^2 = 0 ]

[ a = -\frac{1}{2} ]

Шаг 4: Проверка

При (a = -\frac{1}{2}):

• Уравнение становится:

  [ 16x^2 - 4x + \frac{1}{4} = 0 ]

• Дискриминант этого уравнения равен нулю, что подтверждает наличие ровно одного решения.

Таким образом, для (a = -\frac{1}{2}), исходное уравнение имеет ровно одно решение.