-20cos (5п/2+а) , если cos a = 7/25

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться формулой косинуса суммы углов: cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b).

Так как нам дано, что cos(a) = 7/25, мы можем найти sin(a) используя тождество Пифагора: sin^2(a) + cos^2(a) = 1. Подставим значение cos(a) и найдем sin(a): (7/25)^2 + sin^2(a) = 1 49/625 + sin^2(a) = 1 sin^2(a) = 1 - 49/625 sin^2(a) = 576/625 sin(a) = sqrt(576/625) = 24/25

Теперь мы можем рассчитать значение -20cos(5π/2 + a): -20 cos(5π/2 + a) = -20 [cos(5π/2)cos(a) - sin(5π/2)sin(a)] -20 [0 7/25 - (-1) 24/25] = -20 [0 + 24/25] = -20 * 24/25 = -480/25 = -19.2

Итак, -20cos(5π/2 + a) = -19.2.

-20 * (7/25) = -28/5

Для решения задачи необходимо использовать свойства тригонометрических функций и их периодичность.

Мы имеем выражение (-20 \cos\left(\frac{5\pi}{2} + a\right)).

Шаги решения:

1. Периодичность косинуса:

   Косинус — это периодическая функция с периодом (2\pi). Однако, для углов в виде (\frac{5\pi}{2}), лучше рассмотреть функции с периодами, кратными (\pi/2), так как (\frac{5\pi}{2}) является нецелым числом относительно (2\pi).

2. Упрощение угла:

   Угол (\frac{5\pi}{2}) можно преобразовать, вспомнив, что: [ \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} ] Таким образом, (\cos\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{2} + a\right)).

3. Свойства косинуса:

   Поскольку (\cos(2\pi + x) = \cos(x)), то: [ \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{2} + a\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right) ]

4. Формула для косинуса суммы:

   Косинус суммы углов (\cos(x + y)) равен: [ \cos(x + y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y ] Применяя это для (\cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right)), получаем: [ \cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \cos(a) - \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \sin(a) ] Подставляя значения (\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0) и (\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1), получаем: [ \cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = 0 \cdot \cos(a) - 1 \cdot \sin(a) = -\sin(a) ]

5. Определение (\sin(a)):

   Мы знаем, что (\cos(a) = \frac{7}{25}). Для тригонометрического круга справедливо: [ \sin^2(a) + \cos^2(a) = 1 ] Подставляем значение (\cos(a)): [ \sin^2(a) + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 ] [ \sin^2(a) + \frac{49}{625} = 1 ] [ \sin^2(a) = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625}{625} - \frac{49}{625} = \frac{576}{625} ] [ \sin(a) = \pm \frac{\sqrt{576}}{25} = \pm \frac{24}{25} ]

6. Подстановка значений:

   Мы нашли, что (\cos\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) = -\sin(a)). Следовательно: [ -20 \cos\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) = -20 \times -\sin(a) = 20\sin(a) ] Итак, в зависимости от знака (\sin(a)), окончательное значение будет: [ 20 \times \left(\frac{24}{25}\right) = \frac{480}{25} = 19.2 ] или [ 20 \times \left(-\frac{24}{25}\right) = -\frac{480}{25} = -19.2 ]

Таким образом, решение зависит от того, в какой четверти находится угол (a), чтобы определить знак (\sin(a)).