27*81^sinx-12*9^sinx +1=0 [3pi/2;3pi]

Рассмотрим уравнение:

[ 27 \cdot 81^{\sin x} - 12 \cdot 9^{\sin x} + 1 = 0 ]

Для упрощения введем замену переменной. Обозначим:

[ y = 9^{\sin x} ]

Тогда ( 81^{\sin x} = (9^2)^{\sin x} = (9^{\sin x})^2 = y^2 ).

Подставим эти обозначения в уравнение:

[ 27y^2 - 12y + 1 = 0 ]

Это квадратное уравнение относительно ( y ). Решим его с помощью дискриминанта:

Дискриминант ( D ) равен:

[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 27 \cdot 1 = 144 - 108 = 36 ]

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

где ( a = 27 ), ( b = -12 ), ( c = 1 ).

Подставим значения:

[ y_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{54} = \frac{12 \pm 6}{54} ]

Получаем два корня:

[ y_1 = \frac{18}{54} = \frac{1}{3} ]

[ y_2 = \frac{6}{54} = \frac{1}{9} ]

Теперь вернемся к замене ( y = 9^{\sin x} ).

Для ( y = \frac{1}{3} ):

[ 9^{\sin x} = \frac{1}{3} ]

Прологарифмируем обе части:

[ \sin x \cdot \log 9 = \log \frac{1}{3} ]

[ \sin x = \frac{\log \frac{1}{3}}{\log 9} = \frac{-\log 3}{2 \log 3} = -\frac{1}{2} ]

Для ( y = \frac{1}{9} ):

[ 9^{\sin x} = \frac{1}{9} ]

Прологарифмируем обе части:

[ \sin x \cdot \log 9 = \log \frac{1}{9} ]

[ \sin x = \frac{\log \frac{1}{9}}{\log 9} = \frac{-2\log 3}{2 \log 3} = -1 ]

Теперь найдем значения ( x ) в интервале ([ \frac{3\pi}{2}, 3\pi ]):

1. Если (\sin x = -\frac{1}{2}), то:

   [ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n ]

   В интервале ([ \frac{3\pi}{2}, 3\pi ]), это:

   [ x = \frac{11\pi}{6} ]

2. Если (\sin x = -1), то:

   [ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n ]

   В интервале ([ \frac{3\pi}{2}, 3\pi ]), это:

   [ x = \frac{3\pi}{2} ]

Таким образом, решения уравнения на данном интервале: ( x = \frac{3\pi}{2} ) и ( x = \frac{11\pi}{6} ).

Для решения данного уравнения необходимо использовать метод численного решения или подбора значений для sin(x) из заданного интервала [3pi/2;3pi].

Подставим значение sin(x) = -1 в уравнение: 2781^(-1) - 129^(-1) + 1 = 27(1/81) - 12(1/9) + 1 = 27/81 - 12/9 + 1 = 1/3 - 4/3 + 1 = -2/3 + 1 = 1/3 - 2/3 = -1/3

Получаем результат -1/3, который не равен нулю, следовательно, уравнение не имеет корней на заданном интервале [3pi/2;3pi].

sinx = pi/2