2cos 2x=под корнем 2 помогите решить уравнение

Для решения уравнения 2cos(2x) = √2 нужно преобразовать его к виду cos(2x) = √2/2, а затем найти обратный косинус от √2/2, что равно π/4. Таким образом, получаем уравнение 2x = π/4 + 2πn или 2x = -π/4 + 2πn, где n - целое число. В итоге x = π/8 + πn или x = -π/8 + πn.

Для решения уравнения 2cos(2x) = √2 нужно сначала избавиться от угловой функции cos(2x). Для этого преобразуем косинус с удвоенным углом с помощью формулы двойного угла: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1.

Подставляем это выражение в уравнение: 2(2cos^2(x) - 1) = √2. Упрощаем: 4cos^2(x) - 2 = √2. Переносим все в одну сторону: 4cos^2(x) = √2 + 2.

Далее делим обе части уравнения на 4: cos^2(x) = (√2 + 2) / 4 = (√2 + 2) / 2^2 = (√2 + 2) / 4 = (√2 + 2) / 4 = (√2 + 2) / 4 = (√2 + 2) / 4 = (√2 + 2) / 4 = 2 + √2.

Теперь извлекаем квадратный корень: cos(x) = ±√(2 + √2).

Таким образом, корни уравнения 2cos(2x) = √2 равны x = ±arccos(√(2 + √2)).

Давайте решим уравнение (2 \cos(2x) = \sqrt{2}).

1. Приведение уравнения к стандартному виду:

   Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его: [ \cos(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

2. Поиск значений косинуса:

   Нам нужно найти значения (2x), при которых (\cos(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}). Напомним, что (\cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}) в следующих случаях: [ \theta = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad \theta = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} ]

3. Замена переменной:

   В нашем уравнении (\theta = 2x). Поэтому: [ 2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad 2x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} ]

4. Решение для (x):

   Разделим обе части уравнений на 2, чтобы найти (x):

   Для первого уравнения: [ x = \frac{\pi}{8} + k\pi ]

   Для второго уравнения: [ x = -\frac{\pi}{8} + k\pi ]

5. Общее решение:

   Таким образом, общее решение уравнения (2 \cos(2x) = \sqrt{2}) можно записать в виде: [ x = \frac{\pi}{8} + k\pi \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{8} + k\pi, \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} ]

Это и есть все решения данного тригонометрического уравнения.