385.Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:
1) центр окружности совпадает с началом координат и ее радиус R = 3;
2) центр окружности совпадает с точкой С(2;. -3) и ее радиус R = 7;
3) окружность проходит через начало координат и ее центр совпадает с точкой С (6; -8);
4) окружность проходит через точку А (2; 6) и ее центр совпадает с точкой С(-1; 2);
5) точки A(3; 2) и В(- 1; 6) являются концами од-ного из диаметров окружности;
1) Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R = 3: x^2 + y^2 = 3^2 x^2 + y^2 = 9
2) Уравнение окружности с центром в точке C(2, -3) и радиусом R = 7: (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 7^2 (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 49
3) Уравнение окружности, проходящей через начало координат и с центром в точке C(6, -8): (x - 6)^2 + (y + 8)^2 = R^2 (x - 6)^2 + (y + 8)^2 = (6^2 + 8^2)
4) Уравнение окружности, проходящей через точку A(2, 6) и с центром в точке C(-1, 2): (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = R^2 (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = ((2 - (-1))^2 + (6 - 2)^2)
5) Уравнение окружности, проходящей через точки A(3, 2) и B(-1, 6) (середина диаметра - центр окружности): ((3 - (-1))/2)^2 + ((2 + 6)/2)^2 = R^2 (2)^2 + (4)^2 = R^2 4 + 16 = R^2 20 = R^2
Таким образом, уравнения окружностей в указанных случаях будут иметь следующий вид.
Для решения каждого из этих случаев, необходимо использовать общее уравнение окружности. Уравнение окружности в декартовой системе координат имеет вид:
[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 ]
где ((a, b)) — координаты центра окружности, а (R) — радиус окружности.
Теперь рассмотрим каждый из предложенных случаев:
1) Центр окружности совпадает с началом координат и ее радиус (R = 3):
В этом случае центр окружности находится в точке ((0, 0)), и радиус равен 3. Подставляем эти значения в уравнение окружности:
[ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 3^2 ]
Это упрощается до:
[ x^2 + y^2 = 9 ]
2) Центр окружности совпадает с точкой (C(2, -3)) и ее радиус (R = 7):
Здесь центр окружности ((2, -3)) и радиус 7. Подставляем эти значения в уравнение:
[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 7^2 ]
Это упрощается до:
[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 49 ]
3) Окружность проходит через начало координат и ее центр совпадает с точкой (C(6, -8)):
В данном случае центр окружности ((6, -8)), и окружность проходит через начало координат ((0, 0)). Таким образом, радиус равен расстоянию от центра до начала координат, которое можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками:
[ R = \sqrt{(6 - 0)^2 + (-8 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 ]
Подставляем центр и радиус в уравнение:
[ (x - 6)^2 + (y + 8)^2 = 10^2 ]
Это упрощается до:
[ (x - 6)^2 + (y + 8)^2 = 100 ]
4) Окружность проходит через точку (A(2, 6)) и ее центр совпадает с точкой (C(-1, 2)):
Здесь центр окружности ((-1, 2)), а радиус равен расстоянию от центра до точки (A(2, 6)):
[ R = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + 4^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]
Подставляем центр и радиус в уравнение:
[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5^2 ]
Это упрощается до:
[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25 ]
5) Точки (A(3, 2)) и (B(-1, 6)) являются концами одного из диаметров окружности:
В этом случае сначала найдем центр окружности, который является серединой отрезка (AB). Координаты середины можно найти как среднее арифметическое соответствующих координат точек (A) и (B):
[ a = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1 ]
[ b = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 ]
Таким образом, центр окружности — точка ((1, 4)). Радиус равен половине длины отрезка (AB), который является диаметром:
[ AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} ]
Следовательно, радиус (R = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}).
Подставляем центр и радиус в уравнение:
[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = (2\sqrt{2})^2 ]
Это упрощается до:
[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 8 ]
Таким образом, уравнения окружностей для каждого из случаев приведены выше.
