{4x^2+3xy-y^2=0 {x^2+y^2-2xy=16 решить систему уравнений

Для решения данной системы уравнений мы можем воспользоваться методом подстановки. Давайте рассмотрим первое уравнение 4x^2 + 3xy - y^2 = 0 и выразим одну переменную через другую. Например, можно выразить x через y:

4x^2 + 3xy - y^2 = 0 4x^2 + 3xy = y^2 x = (y^2) / (4 + 3y)

Теперь подставим это выражение для x во второе уравнение x^2 + y^2 - 2xy = 16:

((y^2) / (4 + 3y))^2 + y^2 - 2 ((y^2) / (4 + 3y)) y = 16 (y^4) / (16 + 24y + 9y^2) + y^2 - 2y^3 / (4 + 3y) = 16 y^4 + y^2(16 + 24y + 9y^2) - 2y^3(4 + 3y) = 16(16 + 24y + 9y^2)

Это уравнение четвертой степени, и его можно решить численными методами или с помощью компьютера. Таким образом, мы можем решить данную систему уравнений методом подстановки и получить значения переменных x и y.

x = 2, y = 4

Для решения системы уравнений:

1) (4x^2 + 3xy - y^2 = 0)

2) (x^2 + y^2 - 2xy = 16)

мы начнем с анализа каждого уравнения.

Шаг 1: Преобразование первого уравнения

Первое уравнение: [ 4x^2 + 3xy - y^2 = 0 ]

Это уравнение можно рассматривать как квадратное уравнение относительно (y). Попробуем привести его к стандартной форме: [ y^2 - 3xy - 4x^2 = 0 ]

Для удобства можно записать его в виде: [ y^2 - 3xy - 4x^2 = 0 ]

Шаг 2: Решение квадратного уравнения относительно (y)

Это квадратное уравнение относительно (y). Решим его используя стандартную формулу для квадратного уравнения (ay^2 + by + c = 0): [ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

В нашем случае (a = 1), (b = -3x), (c = -4x^2). Подставим эти значения в формулу: [ y = \frac{3x \pm \sqrt{(3x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4x^2)}}{2 \cdot 1} ] [ y = \frac{3x \pm \sqrt{9x^2 + 16x^2}}{2} ] [ y = \frac{3x \pm \sqrt{25x^2}}{2} ] [ y = \frac{3x \pm 5x}{2} ]

Получаем два решения:

1. ( y = \frac{3x + 5x}{2} = 4x )
2. ( y = \frac{3x - 5x}{2} = -x )

Шаг 3: Подстановка решений в второе уравнение

Теперь подставим эти решения в второе уравнение (x^2 + y^2 - 2xy = 16).

Случай 1: (y = 4x)

Подставим (y = 4x) в (x^2 + y^2 - 2xy = 16):

[ x^2 + (4x)^2 - 2x(4x) = 16 ] [ x^2 + 16x^2 - 8x^2 = 16 ] [ 9x^2 = 16 ] [ x^2 = \frac{16}{9} ] [ x = \pm \frac{4}{3} ]

Соответственно, (y) в этом случае: [ y = 4x = 4 \left(\pm \frac{4}{3}\right) = \pm \frac{16}{3} ]

Так, у нас два решения для первого случая: [ (x, y) = \left(\frac{4}{3}, \frac{16}{3}\right) ] [ (x, y) = \left(-\frac{4}{3}, -\frac{16}{3}\right) ]

Случай 2: (y = -x)

Подставим (y = -x) в (x^2 + y^2 - 2xy = 16):

[ x^2 + (-x)^2 - 2x(-x) = 16 ] [ x^2 + x^2 + 2x^2 = 16 ] [ 4x^2 = 16 ] [ x^2 = 4 ] [ x = \pm 2 ]

Соответственно, (y) в этом случае: [ y = -x = -(\pm 2) = \mp 2 ]

Так, у нас два решения для второго случая: [ (x, y) = (2, -2) ] [ (x, y) = (-2, 2) ]

Итоговые решения

Итак, система уравнений имеет следующие решения: [ \left(\frac{4}{3}, \frac{16}{3}\right) ] [ \left(-\frac{4}{3}, -\frac{16}{3}\right) ] [ (2, -2) ] [ (-2, 2) ]

Эти четыре пары ((x, y)) являются решениями данной системы уравнений.