{4x^2+3xy-y^2=0 {x^2+y^2-2xy=16 решить систему уравнений

Для решения данной системы уравнений мы можем воспользоваться методом подстановки. Давайте рассмотрим первое уравнение 4x^2 + 3xy - y^2 = 0 и выразим одну переменную через другую. Например, можно выразить x через y:

4x^2 + 3xy - y^2 = 0 4x^2 + 3xy = y^2 x = $y^2$ / $4+3y$

Теперь подставим это выражение для x во второе уравнение x^2 + y^2 - 2xy = 16:

$(y^2$ / $4+3y$)^2 + y^2 - 2 $(y^2$ / $4+3y$) y = 16 $y^4$ / $16+24y+9y^2$ + y^2 - 2y^3 / $4+3y$ = 16 y^4 + y^2$16+24y+9y^2$ - 2y^3$4+3y$ = 16$16+24y+9y^2$

Это уравнение четвертой степени, и его можно решить численными методами или с помощью компьютера. Таким образом, мы можем решить данную систему уравнений методом подстановки и получить значения переменных x и y.

x = 2, y = 4

Для решения системы уравнений:

1) $4x^2+3xy-y^2=0$

2) $x^2+y^2-2xy=16$

мы начнем с анализа каждого уравнения.

Шаг 1: Преобразование первого уравнения

Первое уравнение: $4x^2+3xy-y^2=0$

Это уравнение можно рассматривать как квадратное уравнение относительно $y$. Попробуем привести его к стандартной форме: $y^2-3xy-4x^2=0$

Для удобства можно записать его в виде: $y^2-3xy-4x^2=0$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения относительно $y$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его используя стандартную формулу для квадратного уравнения $a{y}^2+by+c=0$: $y=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

В нашем случае $a=1$, $b=-3x$, $c=-4x^2$. Подставим эти значения в формулу: $y=\frac{3x\pm \sqrt{(3x{)}^2-4\cdot 1\cdot (-4x^2)}}{2\cdot 1}$ $y=\frac{3x\pm \sqrt{9x^2+16x^2}}{2}$ $y=\frac{3x\pm \sqrt{25x^2}}{2}$ $y=\frac{3x\pm 5x}{2}$

Получаем два решения:

1. $y=\frac{3x+5x}{2}=4x$
2. $y=\frac{3x-5x}{2}=-x$

Шаг 3: Подстановка решений в второе уравнение

Теперь подставим эти решения в второе уравнение $x^2+y^2-2xy=16$.

Случай 1: $y=4x$

Подставим $y=4x$ в $x^2+y^2-2xy=16$:

$x^2+(4x{)}^2-2x(4x)=16$ $x^2+16x^2-8x^2=16$ $9x^2=16$ $x^2=\frac{16}{9}$ $x=\pm \frac{4}{3}$

Соответственно, $y$ в этом случае: $y=4x=4(\pm \frac{4}{3})=\pm \frac{16}{3}$

Так, у нас два решения для первого случая: $(x,y)=(\frac{4}{3},\frac{16}{3})$ $(x,y)=(-\frac{4}{3},-\frac{16}{3})$

Случай 2: $y=-x$

Подставим $y=-x$ в $x^2+y^2-2xy=16$:

$x^2+(-x{)}^2-2x(-x)=16$ $x^2+x^2+2x^2=16$ $4x^2=16$ $x^2=4$ $x=\pm 2$

Соответственно, $y$ в этом случае: $y=-x=-(\pm 2)=\mp 2$

Так, у нас два решения для второго случая: $(x,y)=(2,-2)$ $(x,y)=(-2,2)$

Итоговые решения

Итак, система уравнений имеет следующие решения: $(\frac{4}{3},\frac{16}{3})$ $(-\frac{4}{3},-\frac{16}{3})$ $(2,-2)$ $(-2,2)$

Эти четыре пары $(x,y$) являются решениями данной системы уравнений.