7*9 в степени (х в квадрате -3х+1)+5*6 в степени (х в квадрате - 3х+1)-48*4 в степени(х в квадрате -3х)=0...

Для решения данного уравнения нужно выполнить следующие шаги:

1. Заменим x в квадрате - 3x + 1 = t, чтобы упростить уравнение. Теперь у нас получится: 7 9^t + 5 6^t - 48 * 4^t = 0

2. Раскроем степени и подставим вместо t x в квадрате - 3x + 1: 7 9^(x^2 - 3x + 1) + 5 6^(x^2 - 3x + 1) - 48 * 4^(x^2 - 3x) = 0

3. Решим уравнение на промежутке [-1;2], подставляя в него значения x из данного промежутка и проверяя, когда уравнение равно 0.

После выполнения всех этих шагов мы сможем найти корни уравнения на заданном промежутке.

Решение данного уравнения: x = -1, x = 1, x = 2.

Рассмотрим уравнение ( 7 \cdot 9^{(x^2 - 3x + 1)} + 5 \cdot 6^{(x^2 - 3x + 1)} - 48 \cdot 4^{(x^2 - 3x)} = 0 ) на промежутке ([-1; 2]).

Давайте введём новую переменную ( t ), такую что ( t = x^2 - 3x + 1 ). Тогда уравнение принимает вид:

[ 7 \cdot 9^t + 5 \cdot 6^t - 48 \cdot 4^{t-1} = 0 ]

Теперь упростим выражение ( 4^{t-1} ). Поскольку ( 4^{t-1} = \frac{4^t}{4} ), уравнение становится:

[ 7 \cdot 9^t + 5 \cdot 6^t - 48 \cdot \frac{4^t}{4} = 0 ]

Упростим далее:

[ 7 \cdot 9^t + 5 \cdot 6^t - 12 \cdot 4^t = 0 ]

Теперь рассмотрим возможные значения ( t ) на промежутке ([-1; 2]). Значения функции ( x^2 - 3x + 1 ) на этом промежутке можно найти, решив квадратное уравнение.

Рассмотрим функцию ( f(x) = x^2 - 3x + 1 ) на промежутке ([-1; 2]):

1. ( f(-1) = (-1)^2 - 3(-1) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5 )
2. ( f(2) = (2)^2 - 3(2) + 1 = 4 - 6 + 1 = -1 )

Также можем найти вершину параболы этой функции. Вершина параболы ( ax^2 + bx + c ) находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ). Здесь ( a = 1 ), ( b = -3 ), и ( c = 1 ), тогда:

[ x = \frac{3}{2} = 1.5 ]

Подставим это значение в функцию:

[ f(1.5) = (1.5)^2 - 3(1.5) + 1 = 2.25 - 4.5 + 1 = -1.25 ]

Таким образом, ( t ) может принимать значения от -1.25 до 5 на промежутке ([-1; 2]).

Теперь вернёмся к уравнению:

[ 7 \cdot 9^t + 5 \cdot 6^t - 12 \cdot 4^t = 0 ]

Рассмотрим значения ( t ) в этом диапазоне. Проверим, есть ли такие значения ( t ), при которых уравнение выполняется.

Для ( t = 0 ):

[ 7 \cdot 9^0 + 5 \cdot 6^0 - 12 \cdot 4^0 = 7 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 12 \cdot 1 = 7 + 5 - 12 = 0 ]

Таким образом, ( t = 0 ) является решением. Подставим ( t = 0 ) в функцию ( t = x^2 - 3x + 1 ):

[ 0 = x^2 - 3x + 1 ]

Решим квадратное уравнение:

[ x^2 - 3x + 1 = 0 ]

Дискриминант этого уравнения:

[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 ]

Корни уравнения:

[ x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} ]

Корни:

[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.618 ] [ x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0.382 ]

Теперь проверим, принадлежат ли эти корни промежутку ([-1; 2]):

[ x_1 \approx 2.618 \notin [-1; 2] ] [ x_2 \approx 0.382 \in [-1; 2] ]

Таким образом, единственным решением уравнения на промежутке ([-1; 2]) является ( x_2 \approx 0.382 ).

Ответ: ( x \approx 0.382 ).