8^x - 3*4^x+ (9*4^x - 288)/2^x -9 ≤ 32 найти все корни

Для решения данного неравенства сначала упростим его:

[ 8^x - 3 \cdot 4^x + \frac{9 \cdot 4^x - 288}{2^x} - 9 \leq 32 ]

Мы можем использовать замену переменных, чтобы упростить выражение: пусть ( 2^x = y ). Тогда ( 4^x = y^2 ) и ( 8^x = y^3 ). Подставим эти выражения в исходное неравенство:

[ y^3 - 3y^2 + \frac{9y^2 - 288}{y} - 9 \leq 32 ]

Упростим дробное выражение:

[ y^3 - 3y^2 + 9y - 288/y - 9 \leq 32 ]

Приведем все слагаемые к общему знаменателю ( y ):

[ \frac{y^4 - 3y^3 + 9y^2 - 288 - 9y}{y} \leq 32 ]

[ \frac{y^4 - 3y^3 + 9y^2 - 9y - 288}{y} \leq 32 ]

[ y^4 - 3y^3 + 9y^2 - 9y - 288 \leq 32y ]

Перенесем все члены на одну сторону:

[ y^4 - 3y^3 + 9y^2 - 41y - 288 \leq 0 ]

Теперь разложим множители полинома (если это возможно), чтобы решить неравенство. Начнем с подбора корней по теореме о рациональных корнях или методом деления.

После пробного подбора и деления многочлена на ( y-8 ), получаем:

[ y^4 - 3y^3 + 9y^2 - 41y - 288 = (y-8)(y^3 + 5y^2 - y - 36) ]

Теперь рассмотрим второй множитель:

[ y^3 + 5y^2 - y - 36 ]

Пробуем делить на ( y-6 ):

[ (y-6)(y^2 + 11y + 6) ]

Разложим ( y^2 + 11y + 6 ):

[ (y + 6)(y + 1) ]

Теперь мы имеем полное разложение:

[ y^4 - 3y^3 + 9y^2 - 41y - 288 = (y-8)(y-6)(y+6)(y+1) ]

Решаем неравенство:

[ (y-8)(y-6)(y+6)(y+1) \leq 0 ]

По методу интервалов:

• ( y \in (-\infty, -6] \cup [-1, 6] \cup [8, \infty) )

Теперь возвращаемся к переменной ( x ):

[ 2^x \in (-\infty, -6] \cup [-1, 6] \cup [8, \infty) ]

Так как ( 2^x ) всегда положительно и ( 2^x \neq -6, -1 ), остаются интервалы:

[ 2^x \in [8, \infty) ] [ 2^x \in [-1, 6] ] - невозможно, так как ( 2^x > 0 ).

[ x \geq 3 ]

Таким образом, все ( x \geq 3 ) являются решениями неравенства.

Для начала преобразуем данное неравенство: 8^x - 34^x + (94^x - 288)/2^x - 9 ≤ 32 Упростим выражения в скобках: 8^x - 34^x + 4^x9 - 288/2^x - 9 ≤ 32 8^x - 34^x + 364^x - 288/2^x - 9 ≤ 32 8^x + 334^x - 288/2^x - 9 ≤ 32 Далее заменим 4^x на (2^x)^2: 8^x + 33(2^x)^2 - 288/2^x - 9 ≤ 32 8^x + 332^(2x) - 288/2^x - 9 ≤ 32 Теперь заменим 8^x на (2^3)^x: (2^3)^x + 332^(2x) - 288/2^x - 9 ≤ 32 2^3x + 332^(2x) - 288/2^x - 9 ≤ 32 Далее введем новую переменную y = 2^x: 2^(3y) + 332^(2y) - 288/y - 9 ≤ 32 Получили новое уравнение, которое уже удобнее решать. Далее можно попробовать итерационные методы для нахождения всех корней данного уравнения.