8^x - 3*4^x+ $9\ast 4^x-288$/2^x -9 ≤ 32 найти все корни

Для решения данного неравенства сначала упростим его:

$8^x-3\cdot 4^x+\frac{9\cdot 4^x-288}{2^x}-9\le 32$

Мы можем использовать замену переменных, чтобы упростить выражение: пусть $2^x=y$. Тогда $4^x=y^2$ и $8^x=y^3$. Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$y^3-3y^2+\frac{9y^2-288}{y}-9\le 32$

Упростим дробное выражение:

$y^3-3y^2+9y-288/y-9\le 32$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $y$:

$\frac{y^4-3y^3+9y^2-288-9y}{y}\le 32$

$\frac{y^4-3y^3+9y^2-9y-288}{y}\le 32$

$y^4-3y^3+9y^2-9y-288\le 32y$

Перенесем все члены на одну сторону:

$y^4-3y^3+9y^2-41y-288\le 0$

Теперь разложим множители полинома $еслиэтовозможно$, чтобы решить неравенство. Начнем с подбора корней по теореме о рациональных корнях или методом деления.

После пробного подбора и деления многочлена на $y-8$, получаем:

$y^4-3y^3+9y^2-41y-288=(y-8)(y^3+5y^2-y-36)$

Теперь рассмотрим второй множитель:

$y^3+5y^2-y-36$

Пробуем делить на $y-6$:

$(y-6)(y^2+11y+6)$

Разложим $y^2+11y+6$:

$(y+6)(y+1)$

Теперь мы имеем полное разложение:

$y^4-3y^3+9y^2-41y-288=(y-8)(y-6)(y+6)(y+1)$

Решаем неравенство:

$(y-8)(y-6)(y+6)(y+1)\le 0$

По методу интервалов:

• $y\in (-\mathrm{\infty },-6]\cup [-1,6]\cup [8,\mathrm{\infty }$ )

Теперь возвращаемся к переменной $x$:

$2^x\in (-\mathrm{\infty },-6$ \cup $-1,6$ \cup $8,\mathrm{\infty })$

Так как $2^x$ всегда положительно и $2^x\ne -6,-1$, остаются интервалы:

$2^x\in [8,\mathrm{\infty })$ $2^x\in [-1,6$ ] - невозможно, так как $2^x>0$.

$x\ge 3$

Таким образом, все $x\ge 3$ являются решениями неравенства.

Для начала преобразуем данное неравенство: 8^x - 34^x + (94^x - 288)/2^x - 9 ≤ 32 Упростим выражения в скобках: 8^x - 34^x + 4^x9 - 288/2^x - 9 ≤ 32 8^x - 34^x + 364^x - 288/2^x - 9 ≤ 32 8^x + 334^x - 288/2^x - 9 ≤ 32 Далее заменим 4^x на $2^x$^2: 8^x + 33$2^x$^2 - 288/2^x - 9 ≤ 32 8^x + 332^$2x$ - 288/2^x - 9 ≤ 32 Теперь заменим 8^x на $2^3$^x: $2^3$^x + 332^$2x$ - 288/2^x - 9 ≤ 32 2^3x + 332^$2x$ - 288/2^x - 9 ≤ 32 Далее введем новую переменную y = 2^x: 2^$3y$ + 332^$2y$ - 288/y - 9 ≤ 32 Получили новое уравнение, которое уже удобнее решать. Далее можно попробовать итерационные методы для нахождения всех корней данного уравнения.