A) Решите уравнение: 4cos2x - 8sinx + 1= 0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку...

Для начала рассмотрим заданное уравнение:

a) Решение уравнения: [ 4 \cos 2x - 8 \sin x + 1 = 0 ]

Используем формулу двойного угла: [ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x ]

Подставляем это выражение в исходное уравнение: [ 4(1 - 2\sin^2 x) - 8 \sin x + 1 = 0 ] [ 4 - 8\sin^2 x - 8 \sin x + 1 = 0 ] [ 8\sin^2 x + 8\sin x - 5 = 0 ]

Сделаем замену (\sin x = t), где ( -1 \leq t \leq 1 ): [ 8t^2 + 8t - 5 = 0 ]

Решаем квадратное уравнение относительно ( t ): [ a = 8, \, b = 8, \, c = -5 ] [ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 64 + 160 = 224 ] [ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{224}}{16} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{14}}{16} = \frac{-2 \pm \sqrt{14}}{4} ]

Получаем два корня: [ t_1 = \frac{-2 + \sqrt{14}}{4}, \quad t_2 = \frac{-2 - \sqrt{14}}{4} ]

Поскольку (\sin x) должен быть в пределах от -1 до 1, проверим, какие из корней подходят. Вычислим: [ t_1 \approx \frac{-2 + 3.74}{4} \approx 0.435, \quad t_2 \approx \frac{-2 - 3.74}{4} \approx -1.435 ]

Значение ( t_2 ) не подходит, так как выходит за пределы [-1, 1]. Поэтому у нас есть только один подходящий корень для (\sin x): [ \sin x = \frac{-2 + \sqrt{14}}{4} ]

b) Нахождение корней на отрезке ([-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]):

Теперь найдем ( x ), такие что: [ \sin x = \frac{-2 + \sqrt{14}}{4} ]

Используем арксинус: [ x = \arcsin\left(\frac{-2 + \sqrt{14}}{4}\right) + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(\frac{-2 + \sqrt{14}}{4}\right) + 2\pi k ]

где ( k ) — целое число. Нам нужно найти такие ( x ), которые попадают в заданный интервал. Вычислим: [ x_1 = \arcsin\left(\frac{-2 + \sqrt{14}}{4}\right) \approx \arcsin(0.435) \approx 0.458 \, \text{радианы} ] [ x_2 = \pi - 0.458 \approx 2.683 \, \text{радианы} ]

Теперь найдем подходящие значения ( k ) так, чтобы ( x ) попали в интервал ([-3\pi; -\frac{3\pi}{2}] ). Например: [ -3\pi \leq 0.458 + 2\pi k \leq -\frac{3\pi}{2} ] [ -3\pi \leq 2.683 + 2\pi k \leq -\frac{3\pi}{2} ]

Решив эти неравенства, можно определить подходящие значения ( k ) и, соответственно, найти все корни уравнения на заданном интервале.

a) 4cos(2x) - 8sin(x) + 1 = 0 b) Корни уравнения на отрезке [-3П; -3П/2]: x = -5П/6, x = -11П/6.

a) Для решения данного уравнения сначала преобразуем его, используя тригонометрические тождества. Заменим cos2x на 1 - 2sin^2(x) и получим следующее уравнение: 4(1 - 2sin^2(x)) - 8sin(x) + 1 = 0. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 4 - 8sin^2(x) - 8sin(x) + 1 = 0. Перенесем все в одну часть уравнения: -8sin^2(x) - 8sin(x) + 5 = 0.

b) Для нахождения корней данного уравнения воспользуемся методом дискриминанта. Дискриминант уравнения равен D = b^2 - 4ac, где a = -8, b = -8, c = 5. Подставим значения в формулу: D = (-8)^2 - 4(-8)5 = 64 + 160 = 224.

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня. Найдем их, используя формулу корней квадратного уравнения: sin(x) = (-b ± √D) / 2a. Подставляем значения: sin(x) = (8 ± √224) / (-16). Получаем два корня: sin(x) = (8 + 4√14) / (-16) и sin(x) = (8 - 4√14) / (-16).

Теперь найдем значения x, соответствующие этим корням на отрезке [-3π; -3π/2]. Для первого корня sin(x) = (8 + 4√14) / (-16) ≈ -0.6796. Это значение находится в пределах [-1; 1], следовательно, корень не принадлежит заданному отрезку. Аналогично для второго корня sin(x) = (8 - 4√14) / (-16) ≈ -0.5704, что также не входит в интервал [-1; 1].

Следовательно, уравнение 4cos2x - 8sinx + 1 = 0 не имеет корней на отрезке [-3π; -3π/2].