A)решить уравнение cos(2x-π/2)=√3cos; б)укажите корни,принадлежащие отрезку [π;5π/2].

Рассмотрим уравнение:

A) Решить уравнение ( \cos(2x - \frac{\pi}{2}) = \sqrt{3} \cos x ).

Для начала упростим левую часть уравнения. Воспользуемся формулой косинуса разности углов: [ \cos(2x - \frac{\pi}{2}) = \cos 2x \cos \frac{\pi}{2} + \sin 2x \sin \frac{\pi}{2}. ]

Зная, что (\cos \frac{\pi}{2} = 0) и (\sin \frac{\pi}{2} = 1), получаем: [ \cos(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin 2x. ]

Теперь наше уравнение принимает вид: [ \sin 2x = \sqrt{3} \cos x. ]

Разделим обе части уравнения на (\cos x) (предполагая, что (\cos x \neq 0)): [ \frac{\sin 2x}{\cos x} = \sqrt{3}. ]

Используем тождество (\sin 2x = 2 \sin x \cos x): [ \frac{2 \sin x \cos x}{\cos x} = \sqrt{3}, ] [ 2 \sin x = \sqrt{3}. ]

Отсюда получаем: [ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Решим это тригонометрическое уравнение. Известно, что: [ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} ] при ( x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ) или ( x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi ), где ( k ) — целое число.

То есть: [ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ] или [ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi. ]

Теперь найдем корни, которые принадлежат отрезку ([ \pi; \frac{5\pi}{2} ]).

1. Для ( x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ): [ \pi \leq \frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq \frac{5\pi}{2}. ]

Рассмотрим крайние значения: [ \frac{\pi}{3} + 2k\pi \geq \pi, ] [ 2k\pi \geq \pi - \frac{\pi}{3}, ] [ 2k\pi \geq \frac{2\pi}{3}, ] [ k \geq \frac{1}{3}. ]

и [ \frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq \frac{5\pi}{2}, ] [ 2k\pi \leq \frac{5\pi}{2} - \frac{\pi}{3}, ] [ 2k\pi \leq \frac{15\pi}{6} - \frac{2\pi}{6}, ] [ 2k\pi \leq \frac{13\pi}{6}, ] [ k \leq \frac{13}{12}. ]

Так как ( k ) — целое число, то ( k = 1 ).

Подставим ( k = 1 ): [ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}. ]

Проверим, принадлежит ли этот корень отрезку ([ \pi; \frac{5\pi}{2} ]): [ \pi \leq \frac{7\pi}{3} \leq \frac{5\pi}{2}, ] [ \frac{7\pi}{3} \approx 2.333\pi \leq 2.5\pi. ]

Да, этот корень принадлежит отрезку.

1. Для ( x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi ): [ \pi \leq \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \leq \frac{5\pi}{2}. ]

Рассмотрим крайние значения: [ \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \geq \pi, ] [ 2k\pi \geq \pi - \frac{2\pi}{3}, ] [ 2k\pi \geq \frac{\pi}{3}, ] [ k \geq \frac{1}{6}. ]

и [ \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \leq \frac{5\pi}{2}, ] [ 2k\pi \leq \frac{5\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}, ] [ 2k\pi \leq \frac{15\pi}{6} - \frac{4\pi}{6}, ] [ 2k\pi \leq \frac{11\pi}{6}, ] [ k \leq \frac{11}{12}. ]

Так как ( k ) — целое число, то ( k = 1 ).

Подставим ( k = 1 ): [ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}. ]

Проверим, принадлежит ли этот корень отрезку ([ \pi; \frac{5\pi}{2} ]): [ \pi \leq \frac{8\pi}{3} \leq \frac{5\pi}{2}, ] [ \frac{8\pi}{3} \approx 2.666\pi \leq 2.5\pi. ]

Нет, этот корень не принадлежит отрезку.

Итак, у нас есть один корень, который принадлежит отрезку ([ \pi; \frac{5\pi}{2} ]): [ x = \frac{7\pi}{3}. ]

A) Для решения уравнения cos(2x-π/2)=√3cos преобразуем его, используя формулу двойного угла для косинуса: cos(2x-π/2) = cos(2x)cos(π/2) + sin(2x)sin(π/2) = cos(2x)0 + sin(2x)1 = sin(2x) = √3cos

Теперь преобразуем sin(2x) в виде cos(π/2 - 2x): sin(2x) = cos(π/2 - 2x) = √3cos

Отсюда получаем уравнение: cos(π/2 - 2x) = √3cos

Сравнивая коэффициенты при cos, получаем: π/2 - 2x = 2πn + π/6 (для целых n)

Далее решаем уравнение относительно x: x = -πn - 5π/12

б) Чтобы найти корни, принадлежащие отрезку [π;5π/2], подставляем значения π и 5π/2 в полученное уравнение:

При x = π: x = -πn - 5π/12 x = -π - 5π/12 = -12π/12 - 5π/12 = -17π/12

При x = 5π/2: x = -πn - 5π/12 x = -5π/2 - 5π/12 = -30π/12 - 5π/12 = -35π/12

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие отрезку [π;5π/2], равны -17π/12 и -35π/12.