А)Решите уравнение: 16^sinx +16^sin(x+pi)=17/4 б)Найдите корни этого уравнения принадлежащие отрезку...

а) Для решения данного уравнения начнем с анализа функций под экспонентами степени: [ 16^{\sin x} + 16^{\sin(x+\pi)} = \frac{17}{4} ]

Заметим, что: [ \sin(x + \pi) = -\sin x ] Тогда уравнение преобразуется к виду: [ 16^{\sin x} + 16^{-\sin x} = \frac{17}{4} ]

Используем свойство степеней: [ a^{-n} = \frac{1}{a^n} ] тогда: [ 16^{\sin x} + \frac{1}{16^{\sin x}} = \frac{17}{4} ]

Обозначим: [ y = 16^{\sin x} ] Получаем: [ y + \frac{1}{y} = \frac{17}{4} ]

Умножим обе части уравнения на (y): [ y^2 - \frac{17}{4}y + 1 = 0 ]

Это квадратное уравнение относительно (y). Решим его через дискриминант: [ D = \left(-\frac{17}{4}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = \frac{289}{16} - 4 = \frac{289}{16} - \frac{64}{16} = \frac{225}{16} ]

[ y = \frac{\frac{17}{4} \pm \frac{15}{4}}{2} = \frac{32}{8}, \frac{2}{8} = 4, \frac{1}{4} ]

Таким образом, у нас есть два случая:

1. ( 16^{\sin x} = 4 ) или ( \sin x = \frac{1}{2} )
2. ( 16^{\sin x} = \frac{1}{4} ) или ( \sin x = -\frac{1}{2} )

б) Найдем теперь корни уравнения на интервале ([ \frac{3\pi}{2}, 3\pi ]):

1. ( \sin x = \frac{1}{2} ) Корни для ( \sin x = \frac{1}{2} ) на данном интервале: [ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{13\pi}{6} + 2\pi k ] На интервале ([\frac{3\pi}{2}, 3\pi]) подходит корень: [ x = \frac{13\pi}{6} ]

2. ( \sin x = -\frac{1}{2} ) Корни для ( \sin x = -\frac{1}{2} ) на данном интервале: [ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k ] На интервале ([\frac{3\pi}{2}, 3\pi]) подходят корни: [ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} ] [ x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi = \frac{23\pi}{6} ]

Таким образом, уравнение имеет три корня на интервале ([\frac{3\pi}{2}, 3\pi]): (x = \frac{13\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}, \frac{23\pi}{6}).

а) Решение уравнения: sin(x) = -1/2, x = 7pi/6 или 11pi/6

б) Корни уравнения на отрезке [3pi/2;3pi]: x = 5pi/3

а) Для решения уравнения 16^sinx + 16^sin(x+pi) = 17/4 преобразуем его, используя тригонометрические тождества.

16^sinx + 16^sinxcospi + 16^cosxsinpi + 16^cosx = 17/4 16^sinx + 16^(-sinx) = 17/4 (4^2)^sinx + (4^2)^(-sinx) = 17/4 4^(2sinx) + 4^(-2sinx) = 17/4 (4^sinx)^2 + (1/4^sinx)^2 = 17/4

Теперь мы видим, что у нас появилось уравнение вида a^2 + b^2 = c, что можно решить, представив его в виде квадратного уравнения для переменной a^sinx.

Подставим a^sinx = t: t^2 + (1/t)^2 = 17/4 t^4 - 17t^2 + 1 = 0

Решив это квадратное уравнение, найдем значения переменной t, затем подставим их обратно, чтобы найти значения sinx и соответственно x.

б) Чтобы найти корни уравнения, принадлежащие отрезку [3pi/2; 3pi], нам нужно решить уравнение для x в данном интервале. После нахождения x, мы проверим, удовлетворяет ли он уравнению 16^sinx + 16^sin(x+pi) = 17/4.