Бисектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите...

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, воспользуемся данными о биссектрисе острого угла и разбиением одного из катетов на отрезки длиной 6 см и 10 см.

1. Обозначим треугольник:

   • Пусть ( \triangle ABC ) — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине ( C ).
   • ( AB ) — гипотенуза, ( AC ) и ( BC ) — катеты.
   • Биссектриса угла ( A ) делит катет ( BC ) на отрезки ( BD = 6 ) см и ( DC = 10 ) см (точка ( D ) — точка пересечения биссектрисы с катетом ( BC )).

2. Свойство биссектрисы:

   • По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону (катет ( BC )) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (катетам ( AC ) и ( AB )): [ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} ]

3. Запишем пропорцию: [ \frac{BD}{DC} = \frac{AC}{BC} ] Подставим известные значения: [ \frac{6}{10} = \frac{AC}{BC} ] Упростим дробь: [ \frac{6}{10} = \frac{3}{5} ] Следовательно, [ \frac{AC}{BC} = \frac{3}{5} ]

4. Обозначим длины катетов:

   • Пусть ( AC = 3x ).
   • Тогда ( BC = 5x ).

5. Найдем ( x ):

   • По условию, ( BC ) состоит из отрезков ( BD ) и ( DC ): [ BC = BD + DC ] Подставим значения: [ 5x = 6 + 10 ] То есть, [ 5x = 16 \implies x = \frac{16}{5} = 3.2 ]

6. Найдем длины катетов:

   • ( AC = 3x = 3 \times 3.2 = 9.6 ) см.
   • ( BC = 5x = 5 \times 3.2 = 16 ) см.

7. Площадь треугольника:

   • Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \times AC \times BC ] Подставим значения: [ S = \frac{1}{2} \times 9.6 \times 16 = \frac{1}{2} \times 153.6 = 76.8 \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь треугольника равна ( 76.8 \, \text{см}^2 ).

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами биссектрисы прямоугольного треугольника.

Пусть катеты треугольника равны a и b (a - 6 см, b - 10 см), а гипотенуза равна c. Так как биссектриса острого угла делит катеты пропорционально их длинам, то можно составить следующее уравнение:

a / b = c1 / c2

Где c1 и c2 - отрезки, на которые биссектриса делит гипотенузу c. Так как биссектриса делит гипотенузу на два отрезка, то c1 + c2 = c. Подставим известные значения:

6 / 10 = c1 / c2 c1 + c2 = c

Отсюда получаем, что c1 = 3,6 см и c2 = 6,4 см. Теперь можем применить теорему Пифагора для нахождения гипотенузы:

c^2 = a^2 + b^2 c^2 = 6^2 + 10^2 c^2 = 36 + 100 c^2 = 136 c = √136 c ≈ 11,66 см

Теперь можем найти площадь треугольника по формуле:

S = (a b) / 2 S = (6 10) / 2 S = 30 / 2 S = 15 см²

Итак, площадь прямоугольного треугольника равна 15 квадратных сантиметров.