Cos15x=cos3x Решите уровнение

Рассмотрим уравнение:

[ \cos(15x) = \cos(3x) ]

Решение:

Для начала вспомним основное тригонометрическое тождество:

[ \cos A = \cos B \implies A = B + 2\pi n \quad \text{или} \quad A = -B + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}. ]

Применим это правило к нашему уравнению (\cos(15x) = \cos(3x)).

Случай 1: (15x = 3x + 2\pi n)

Упростим это уравнение: [ 15x - 3x = 2\pi n \implies 12x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{6}, \, n \in \mathbb{Z}. ]

Случай 2: (15x = -3x + 2\pi n)

Упростим это уравнение: [ 15x + 3x = 2\pi n \implies 18x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{9}, \, n \in \mathbb{Z}. ]

Общий ответ:

Решения уравнения (\cos(15x) = \cos(3x)) зависят от двух случаев:

1. (x = \frac{\pi n}{6}, \, n \in \mathbb{Z}),
2. (x = \frac{\pi n}{9}, \, n \in \mathbb{Z}).

Таким образом, множество решений состоит из всех чисел вида (\frac{\pi n}{6}) и (\frac{\pi n}{9}).

Решим уравнение ( \cos(15x) = \cos(3x) ).

Для начала воспользуемся свойством равенства косинусов. Если ( \cos A = \cos B ), то это равенство может быть выполнено в следующих случаях:

1. ( A = B + 2k\pi ), где ( k ) — целое число.
2. ( A = -B + 2k\pi ).

В нашем случае ( A = 15x ) и ( B = 3x ). Следовательно, мы можем записать два уравнения:

1. ( 15x = 3x + 2k\pi )

Решим это уравнение:

[ 15x - 3x = 2k\pi ] [ 12x = 2k\pi ] [ x = \frac{k\pi}{6} ]

2. ( 15x = -3x + 2k\pi )

Решим и это уравнение:

[ 15x + 3x = 2k\pi ] [ 18x = 2k\pi ] [ x = \frac{k\pi}{9} ]

Общие решения

Таким образом, мы получили два семейства решений:

1. ( x = \frac{k\pi}{6} )
2. ( x = \frac{k\pi}{9} )

где ( k ) — целое число.

Объединение решений

Решения можно объединить в одно выражение, однако важно учесть, что значения ( k ) могут быть различными для каждого случая. Поэтому, если вам нужно конкретное решение или диапазон, можно указать диапазон для ( k ).

Пример

Если взять ( k = 0, 1, -1 ) и т.д., то для первого уравнения мы получим:

• ( k = 0: x = 0 )
• ( k = 1: x = \frac{\pi}{6} )
• ( k = 2: x = \frac{\pi}{3} )
• ( k = -1: x = -\frac{\pi}{6} )

Для второго уравнения:

• ( k = 0: x = 0 )
• ( k = 1: x = \frac{\pi}{9} )
• ( k = 2: x = \frac{2\pi}{9} )
• ( k = -1: x = -\frac{\pi}{9} )

Таким образом, все решения уравнения ( \cos(15x) = \cos(3x) ) можно выразить как:

[ x = \frac{k\pi}{6} \quad \text{и} \quad x = \frac{k\pi}{9}, \quad k \in \mathbb{Z} ]