Дан эллипс 9x²+25y²=225 найти а) его полуоси б) фокусы в) эксцентриситет г) уравнения директрис

Для данного эллипса уравнение имеет вид: 9x² + 25y² = 225

1. Найдем полуоси: Для эллипса уравнение имеет вид: x²/a² + y²/b² = 1 Где a и b - полуоси. Сравнивая с уравнением эллипса, получаем: a² = 225/9 => a = √25 = 5 b² = 225/25 => b = √9 = 3 Таким образом, полуоси эллипса равны a = 5 и b = 3.

2. Найдем фокусы: Фокусы эллипса располагаются на главной оси эллипса и отличаются на расстояние c от центра эллипса, где c - фокусное расстояние. c = √(a² - b²) = √(25 - 9) = √16 = 4 Таким образом, фокусы эллипса находятся на расстоянии 4 от центра эллипса.

3. Найдем эксцентриситет: Эксцентриситет эллипса определяется как e = c/a, где c - фокусное расстояние, a - большая полуось. e = 4/5 = 0.8 Таким образом, эксцентриситет эллипса равен 0.8.

4. Найдем уравнения директрис: Уравнения директрис эллипса имеют вид: x = ± a/e = ± 5/0.8 = ± 6.25 Таким образом, уравнения директрис эллипса будут x = 6.25 и x = -6.25.

Для решения задачи начнем с упрощения уравнения эллипса. Дано уравнение эллипса:

[ 9x^2 + 25y^2 = 225 ]

Для приведения его к стандартной форме уравнения эллипса (\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1), разделим обе стороны на 225:

[ \frac{9x^2}{225} + \frac{25y^2}{225} = 1 ] [ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 ]

Теперь уравнение приняло вид, из которого видно, что (a^2 = 25) и (b^2 = 9), откуда (a = 5) и (b = 3). Таким образом:

а) Полуоси эллипса:

• Большая полуось (a = 5)
• Малая полуось (b = 3)

б) Фокусы эллипса находятся на большей оси на расстоянии (c) от центра, где (c = \sqrt{a^2 - b^2}). Вычислим (c):

[ c = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 ]

Так как большая ось эллипса расположена вдоль оси (x), координаты фокусов будут: ((\pm 4, 0)).

в) Эксцентриситет эллипса определяется как (e = \frac{c}{a}). Подставим известные значения:

[ e = \frac{4}{5} = 0.8 ]

г) Уравнения директрис для эллипса находятся по формуле (x = \pm \frac{a}{e}). Подставляем значения:

[ x = \pm \frac{5}{0.8} = \pm 6.25 ]

Итак, уравнения директрис: (x = 6.25) и (x = -6.25).

Таким образом, мы нашли:

• Полуоси эллипса: большая (a = 5), малая (b = 3),
• Фокусы: ((4, 0)) и ((-4, 0)),
• Эксцентриситет: (e = 0.8),
• Уравнения директрис: (x = 6.25) и (x = -6.25).

а) Полуоси эллипса: a = 3, b = 5 б) Фокусы эллипса: F₁(-4,0), F₂(4,0) в) Эксцентриситет эллипса: e = c/a = 4/3 г) Уравнения директрис: x = -3, x = 3