Даны 3 вершины параллелограмма ABCD: А$3;-4;7$; В$-5;3;-2$; С$1;2;-3$. Найти его четвертую вершину D-?

Для нахождения четвертой вершины параллелограмма ABCD необходимо воспользоваться свойствами параллелограмма.

Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, можно найти векторы, соединяющие вершины А и В, а также вершины В и С. Затем найдем их сумму.

Вектор AB = B - A = $-5-3$ ; $3-(-4$) ; $-2-7$ = $-8;7;-9$ Вектор BC = C - B = $1+5$ ; $2-3$ ; $-3+2$ = $6;-1;-1$

Сумма векторов AB и BC даст вектор, соединяющий вершины А и С: Вектор AC = AB + BC = $-8+6$ ; $7-1$ ; $-9-1$ = $-2;6;-10$

Теперь найдем координаты четвертой вершины D, суммируя координаты вершины C и вектора AC: D = C + AC = $1-2$ ; $2+6$ ; $-3-10$ = $-1;8;-13$

Итак, координаты четвертой вершины параллелограмма ABCD равны $-1;8;-13$.

Чтобы найти четвертую вершину D параллелограмма ABCD, мы можем воспользоваться свойством векторов в параллелограмме, согласно которому сумма векторов, исходящих из одной вершины, равна нулю. То есть, если точки A, B, и C заданы, то векторы AB и CD должны быть равны, также как и векторы BC и AD.

1. Найдем координаты вектора AB: $\overrightarrow{AB}=B-A=(-5-3;3+4;-2-7$ = $-8;7;-9$).

2. Найдем координаты вектора BC: $\overrightarrow{BC}=C-B=(1+5;2-3;-3+2$ = $6;-1;-1$).

Теперь, используя свойство параллелограмма, что $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, найдем координаты точки D:

• Поскольку $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$, то $D=C+\overrightarrow{AB}$.
• Вычислим $D$: $D=C+\overrightarrow{AB}=(1;2;-3)+(-8;7;-9)=(1-8;2+7;-3-9)=(-7;9;-12)$.

Итак, координаты точки D равны $(-7;9;-12$). Это четвёртая вершина параллелограмма ABCD.