Даны точки А (1;-2;1), В (0;-2;4), С (3;-2;1), Д (-3;4;1). а) найдите абсолютную величину векторов АВ...

а) |AB| = √((0-1)^2 + (-2+2)^2 + (4-1)^2) = √(1 + 0 + 9) = √10 |CD| = √((-3+3)^2 + (4-(-2))^2 + (1-1)^2) = √(0 + 36 + 0) = 6

б) AB = (0-1)i + (-2+2)j + (4-1)k = -i + 3k BC = (3-0)i + (-2-(-2))j + (1-4)k = 3i + 0j - 3k = 3i - 3k CD = (-3+3)i + (4-(-2))j + (1-1)k = 0i + 6j + 0k = 6j AD = (-3-1)i + (4+2)j + (1-1)k = -4i + 6j AC = (3-1)i + (-2-(-2))j + (1-1)k = 2i + 0j + 0k = 2i CB = (0-3)i + (-2-(-2))j + (4-1)k = -3i + 0k

Для решения поставленных задач, сначала найдем координаты указанных векторов, а затем вычислим их абсолютные величины (длины).

а) Найдем абсолютную величину (длину) векторов ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{CD} ).

Координаты вектора ( \mathbf{AB} ) можно найти по формуле: [ \mathbf{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z) ] Подставим координаты точек ( A(1, -2, 1) ) и ( B(0, -2, 4) ): [ \mathbf{AB} = (0 - 1, -2 - (-2), 4 - 1) = (-1, 0, 3) ]

Теперь найдем длину вектора ( \mathbf{AB} ) по формуле: [ |\mathbf{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 0 + 9} = \sqrt{10} ]

Координаты вектора ( \mathbf{CD} ) можно найти аналогично: [ \mathbf{CD} = (D_x - C_x, D_y - C_y, D_z - C_z) ] Подставим координаты точек ( C(3, -2, 1) ) и ( D(-3, 4, 1) ): [ \mathbf{CD} = (-3 - 3, 4 - (-2), 1 - 1) = (-6, 6, 0) ]

Теперь найдем длину вектора ( \mathbf{CD} ): [ |\mathbf{CD}| = \sqrt{(-6)^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 36 + 0} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} ]

б) Найдем координаты остальных векторов.

Координаты вектора ( \mathbf{BC} ): [ \mathbf{BC} = (C_x - B_x, C_y - B_y, C_z - B_z) ] Подставим координаты точек ( B(0, -2, 4) ) и ( C(3, -2, 1) ): [ \mathbf{BC} = (3 - 0, -2 - (-2), 1 - 4) = (3, 0, -3) ]

Координаты вектора ( \mathbf{AD} ): [ \mathbf{AD} = (D_x - A_x, D_y - A_y, D_z - A_z) ] Подставим координаты точек ( A(1, -2, 1) ) и ( D(-3, 4, 1) ): [ \mathbf{AD} = (-3 - 1, 4 - (-2), 1 - 1) = (-4, 6, 0) ]

Координаты вектора ( \mathbf{AC} ): [ \mathbf{AC} = (C_x - A_x, C_y - A_y, C_z - A_z) ] Подставим координаты точек ( A(1, -2, 1) ) и ( C(3, -2, 1) ): [ \mathbf{AC} = (3 - 1, -2 - (-2), 1 - 1) = (2, 0, 0) ]

Координаты вектора ( \mathbf{CB} ) (для удобства можно взять противоположный вектор к ( \mathbf{BC} )): [ \mathbf{CB} = (B_x - C_x, B_y - C_y, B_z - C_z) ] Подставим координаты точек ( C(3, -2, 1) ) и ( B(0, -2, 4) ): [ \mathbf{CB} = (0 - 3, -2 - (-2), 4 - 1) = (-3, 0, 3) ]

Таким образом, получаем следующие результаты:

1. Абсолютные величины векторов:

   • ( |\mathbf{AB}| = \sqrt{10} )
   • ( |\mathbf{CD}| = 6\sqrt{2} )

2. Координаты векторов:

   • ( \mathbf{AB} = (-1, 0, 3) )
   • ( \mathbf{BC} = (3, 0, -3) )
   • ( \mathbf{CD} = (-6, 6, 0) )
   • ( \mathbf{AD} = (-4, 6, 0) )
   • ( \mathbf{AC} = (2, 0, 0) )
   • ( \mathbf{CB} = (-3, 0, 3) )

Эти вычисления помогут вам понять взаимное расположение точек и векторов в пространстве.

а) Для нахождения абсолютной величины вектора используем формулу: |AB| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) |AB| = √((0 - 1)^2 + (-2 + 2)^2 + (4 - 1)^2) |AB| = √(1 + 0 + 9) = √10

|CD| = √((-3 - 3)^2 + (4 + 2)^2 + (1 - 1)^2) |CD| = √(36 + 36 + 0) = √72 = 6√2

б) Координаты векторов: AB = (0 - 1; -2 + 2; 4 - 1) = (-1; 0; 3) BC = (3 - 0; -2 - -2; 1 - 4) = (3; 0; -3) CD = (-3 - 3; 4 - -2; 1 - 1) = (-6; 6; 0) AD = (-3 - 1; 4 - -2; 1 - 1) = (-4; 6; 0) AC = (3 - 1; -2 - -2; 1 - 1) = (2; 0; 0) CV = (0 - 3; -2 - 0; 4 - 1) = (-3; -2; 3)