Даны высказывания:A: «Сегодня вторник». B: «Сегодня на улице тепло». C: «Я сегодня поеду в лес». D: «Я сегодня поеду в театр». Постройте составные высказывания, их отрицания и таблицы истинности. (A∧D ̅)→C; ( отрицание стоит над D)
Даны высказывания:A: «Сегодня вторник». B: «Сегодня на улице тепло». C: «Я сегодня поеду в лес». D: «Я сегодня поеду в театр». Постройте составные высказывания, их отрицания и таблицы истинности. (A∧D ̅)→C; ( отрицание стоит над D)
Давайте подробно разберем и построим составные высказывания, их отрицания, а также таблицы истинности для предложенной формулы.
Наша задача: рассмотреть составное высказывание (A ∧ ¬D) → C, где ¬D — это отрицание высказывания D (то есть: «Я сегодня не поеду в театр»).
Для этого составного высказывания нам нужно рассмотреть все возможные комбинации истинности для высказываний A, D и C. Поскольку каждое из них принимает два значения (истинно или ложно), всего будет (2^3 = 8) комбинаций.
| A (Сегодня вторник) | D (Я поеду в театр) | C (Я поеду в лес) | ¬D (Я не поеду в театр) | A ∧ ¬D | (A ∧ ¬D) → C |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | T |
| T | T | F | F | F | T |
| T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T |
| F | T | F | F | F | T |
| F | F | T | T | F | T |
| F | F | F | T | F | T |
Составное высказывание (A ∧ ¬D) → C утверждает следующее:
Таблица истинности показывает, что это составное высказывание ложно только в одном случае: когда действительно вторник (A = T), я не еду в театр (¬D = T), но при этом я не еду в лес (C = F). Во всех остальных случаях составное высказывание истинно.
Для решения данной задачи начнем с построения составного высказывания и его отрицания, а затем создадим таблицы истинности.
У нас есть четыре высказывания:
Составное высказывание имеет вид: [ (A \land \neg D) \rightarrow C ] где (\neg D) — это отрицание высказывания D.
Отрицание составного высказывания: [ \neg((A \land \neg D) \rightarrow C) ] По логике, импликация (P \rightarrow Q) может быть представлена как (\neg P \lor Q). Поэтому: [ \neg((A \land \neg D) \rightarrow C) \equiv \neg(\neg(A \land \neg D) \lor C) \equiv (A \land \neg D) \land \neg C ]
Теперь создадим таблицу истинности для высказываний A, D, C, а также для составного высказывания ( (A \land \neg D) \rightarrow C ) и его отрицания.
| A | D | C | ¬D | A ∧ ¬D | (A ∧ ¬D) → C | ¬C | (A ∧ ¬D) ∧ ¬C |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | T | F | F |
| T | T | F | F | F | T | T | F |
| T | F | T | T | T | T | F | F |
| T | F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | T | F | F | F | F | F |
| F | T | F | F | F | F | T | F |
| F | F | T | T | F | F | F | F |
| F | F | F | T | F | F | T | F |
Теперь вы можете использовать данную таблицу для анализа различных сочетаний истинностных значений высказываний A, B, C и D.
