Даша изучает натуральные числа, которые делятся на 72 и имеют в своей десятичной записи только нули...

Чтобы найти самое маленькое натуральное число, которое делится на 72 и имеет в своей десятичной записи только нули и единицы, нужно найти наименьшее общее кратное чисел 72 и 10 (поскольку числа состоят только из нулей и единиц).

Наименьшее общее кратное чисел 72 и 10 равно 360. Это означает, что самое маленькое число, которое делится на 72 и состоит только из нулей и единиц, будет иметь 360 цифр в своей десятичной записи.

Самое маленькое такое число - 111. В нем три цифры.

Для ответа на этот вопрос нам нужно найти наименьшее натуральное число, состоящее только из цифр 0 и 1, которое делится на 72. Такое число должно быть кратно и 8, и 9, поскольку 72 = 8 * 9, и 8 и 9 являются взаимно простыми числами.

1. Делимость на 8: Число делится на 8, если последние три его цифры образуют число, делящееся на 8. Поскольку мы рассматриваем числа, состоящие только из 0 и 1, мы хотим, чтобы последние три цифры (в двоичном представлении) составляли число, делящееся на 8, например 000 или 111 (в десятичной системе это 0 и 7 соответственно, но 7 не подходит).

2. Делимость на 9: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Поскольку наши числа состоят только из 0 и 1, сумма цифр числа равна количеству единиц в числе. Следовательно, количество единиц должно быть кратно 9.

Чтобы найти наименьшее число, удовлетворяющее этим двум условиям, мы можем перебирать числа, начиная с наименьшего, и проверять их на кратность 72. Однако это может быть неэффективно. Вместо этого можно использовать метод поиска чисел, состоящих только из цифр 0 и 1, и искать среди них кратные 72. Это можно сделать с помощью алгоритма, который проверяет последовательные числа в формате, где каждая цифра есть либо 0, либо 1, начиная с самого маленького.

Пример такого подхода — рассмотрение чисел в двоичной системе и проверка их деления на 72. Например, число 111111111 (в двоичной системе это 511 в десятичной) делится на 9, но не на 8. Следующее число, которое мы можем проверить, это 1000000000 (512 в десятичной), и так далее.

Используя программное обеспечение или алгоритмический подход, можно найти это число более системно. Одно из таких чисел — 111111111000000000 (в двоичной системе), которое является первым натуральным числом, состоящим только из единиц и нулей и делящимся на 72. Это число имеет 18 цифр, что делает его наименьшим таким числом, удовлетворяющим условиям задачи.

Таким образом, ответ: в самом маленьком натуральном числе, состоящем только из 0 и 1 и делящемся на 72, 18 цифр.