Диагональ осевого сечения цилиндра равна 22 см, с основанием цилиндра она образует угол в 60°. Определи...

Чтобы найти диаметр основания цилиндра, давайте сначала проанализируем данную задачу.

1. Определение параметров:

   • Диагональ осевого сечения цилиндра ((d)) равна 22 см.
   • Угол между диагональю осевого сечения и основанием цилиндра ((\alpha)) равен 60°.

2. Построение осевого сечения: Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольный треугольник, в котором:

   • одна катета — это высота цилиндра ((h)),
   • другая катета — это радиус основания цилиндра ((R)),
   • гипотенуза — это диагональ осевого сечения ((d)).

   Угол 60° находится между гипотенузой и катетом, который представляет собой радиус основания.

3. Используем тригонометрические соотношения: В прямоугольном треугольнике можно использовать синус и косинус угла:

   • (\cos(\alpha) = \frac{R}{d}) (где (R) — радиус основания)
   • (\sin(\alpha) = \frac{h}{d}) (где (h) — высота цилиндра)

   Подставляем известные значения:

   • (\cos(60°) = \frac{1}{2})
   • (\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2})

4. Рассчитаем (R) и (h):

   • Для радиуса: [ \cos(60°) = \frac{R}{22} ] [ \frac{1}{2} = \frac{R}{22} \implies R = 22 \cdot \frac{1}{2} = 11 \text{ см} ]

   • Для высоты: [ \sin(60°) = \frac{h}{22} ] [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{22} \implies h = 22 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 11\sqrt{3} \text{ см} ]

5. Нахождение диаметра основания: Диаметр основания ((D)) цилиндра равен удвоенному радиусу: [ D = 2R = 2 \cdot 11 = 22 \text{ см} ]

Таким образом, диаметр основания цилиндра составляет (22) см.

Для решения задачи будем использовать основные свойства цилиндра и геометрии.

Дано:

1. Диагональ осевого сечения цилиндра ( d = 22 ) см.
2. Угол между диагональю осевого сечения и основанием цилиндра ( \alpha = 60^\circ ).

Найти:

Диаметр основания цилиндра ( D ).

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна из сторон которого равна высоте цилиндра ( h ), а другая — диаметру основания ( D ). Диагональ осевого сечения ( d ) соединяет противоположные углы прямоугольника, поэтому она является гипотенузой прямоугольного треугольника, где одна из катетов — высота ( h ), а другой катет — диаметр ( D ).

Из условия известно, что диагональ ( d ) образует угол ( \alpha = 60^\circ ) с основанием цилиндра. Это означает, что угол ( \alpha ) находится между диагональю и стороной прямоугольника, равной диаметру ( D ).

Из тригонометрии прямоугольного треугольника следует: [ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}, ] где прилежащий катет — это половина диаметра основания ( \frac{D}{2} ), а гипотенуза — диагональ ( d ). Таким образом: [ \cos 60^\circ = \frac{\frac{D}{2}}{d}. ]

Подставим известное значение угла ( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} ) и выражение для диагонали ( d = 22 ): [ \frac{1}{2} = \frac{\frac{D}{2}}{22}. ]

Упростим уравнение: [ 1 = \frac{D}{22}. ]

Отсюда: [ D = 22 \, \text{см}. ]

Ответ:

Диаметр основания цилиндра ( D = 22 ) см.

Для нахождения диаметра основания цилиндра воспользуемся тригонометрией.

Обозначим диагональ осевого сечения как (d = 22) см, а угол между диагональю и основанием как (\theta = 60^\circ).

В осевом сечении цилиндра диагональ делит основание на два равных радиуса. С помощью косинуса можно определить радиус (r) основания:

[ \cos(\theta) = \frac{r}{d} ]

Подставим известные значения:

[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad d = 22 \text{ см} ]

Получаем:

[ \frac{1}{2} = \frac{r}{22} ]

Отсюда:

[ r = 22 \cdot \frac{1}{2} = 11 \text{ см} ]

Диаметр основания (D) равен (2r):

[ D = 2 \cdot 11 = 22 \text{ см} ]

Ответ: диаметр основания (D = 22) см.