Длина диагонали прямоугольника равна 29 см, а его площадь 420 см^2. найдите периметр прямоугольника....

Пусть длина прямоугольника равна а, а ширина равна b. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: a^2 + b^2 = 29^2, а площадь прямоугольника равна 420: a * b = 420.

Решим данную систему уравнений. Воспользуемся методом замены переменных. Пусть x = a + b, y = a - b. Тогда: a = (x + y) / 2, b = (x - y) / 2.

Подставим данные выражения в уравнения системы: ((x + y) / 2) * ((x - y) / 2) = 420, (x^2 - y^2) / 4 = 420, x^2 - y^2 = 1680.

Также у нас есть уравнение Пифагора: ((x + y) / 2)^2 + ((x - y) / 2)^2 = 29^2, (x^2 + 2xy + y^2) / 4 + (x^2 - 2xy + y^2) / 4 = 841, x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2 = 3364, 2x^2 + 2y^2 = 3364.

Подставим первое уравнение во второе: 2 * 1680 + 2y^2 = 3364, 3360 + 2y^2 = 3364, 2y^2 = 4, y^2 = 2, y = √2.

Теперь найдем x: x^2 = y^2 + 1680, x^2 = 2 + 1680, x = √1682.

Таким образом, получаем: a = (x + y) / 2 = (√1682 + √2) / 2, b = (x - y) / 2 = (√1682 - √2) / 2.

Периметр прямоугольника равен: P = 2a + 2b = 2(√1682 + √2) / 2 + 2(√1682 - √2) / 2 = 2√1682 + 2√2 = 2(√2)(√841 + 1) = 2 * 29 + 2 = 58 + 2 = 60 см.

Чтобы найти периметр прямоугольника, зная длину диагонали и площадь, можно воспользоваться следующими уравнениями:

1. Пусть ( a ) и ( b ) — длины сторон прямоугольника. Тогда по теореме Пифагора длина диагонали ( d ) связана со сторонами уравнением: [ a^2 + b^2 = d^2 ] В нашем случае ( d = 29 ) см, поэтому: [ a^2 + b^2 = 29^2 = 841 ]

2. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: [ a \cdot b = 420 ]

Теперь у нас есть система уравнений: [ \begin{cases} a^2 + b^2 = 841 \ a \cdot b = 420 \end{cases} ]

Решим эту систему.

Из второго уравнения выразим ( b ) через ( a ): [ b = \frac{420}{a} ]

Подставим это выражение во второе уравнение: [ a^2 + \left(\frac{420}{a}\right)^2 = 841 ]

Это уравнение можно преобразовать к следующему виду: [ a^2 + \frac{176400}{a^2} = 841 ]

Умножим всё уравнение на ( a^2 ), чтобы избавиться от дроби: [ a^4 + 176400 = 841a^2 ]

Перенесем все члены в одну сторону: [ a^4 - 841a^2 + 176400 = 0 ]

Это биквадратное уравнение, которое можно решить, введя замену: ( x = a^2 ). Тогда уравнение принимает вид: [ x^2 - 841x + 176400 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение: [ x = \frac{841 \pm \sqrt{841^2 - 4 \times 176400}}{2} ]

Сначала найдём дискриминант: [ 841^2 - 4 \times 176400 = 707281 - 705600 = 1681 ]

Теперь найдём корни: [ x = \frac{841 \pm \sqrt{1681}}{2} ]

Так как (\sqrt{1681} = 41), то: [ x_1 = \frac{841 + 41}{2} = 441, \quad x_2 = \frac{841 - 41}{2} = 400 ]

Поскольку ( x = a^2 ), то ( a ) может быть равен ( \sqrt{441} = 21 ) или ( \sqrt{400} = 20 ).

Значит, возможны два варианта для пар сторон ((a, b)):

1. ( a = 21 ), ( b = 20 )
2. ( a = 20 ), ( b = 21 )

В обоих случаях стороны равны 20 см и 21 см.

Теперь найдём периметр прямоугольника: [ P = 2(a + b) = 2(20 + 21) = 2 \times 41 = 82 \text{ см} ]

Ответ: Периметр прямоугольника равен 82 см.