Длины сторон выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 4. Периметр многоугольника...

Для решения этой задачи обозначим количество сторон выпуклого многоугольника через ( n ). Пусть длины сторон образуют арифметическую прогрессию, где первая сторона имеет длину ( a ), а разность прогрессии равна 4. Тогда длины сторон можно записать как:

[ a, \, a+4, \, a+8, \ldots, \, a+4(n-1) ]

Периметр многоугольника равен 75, то есть сумма всех сторон равна 75:

[ a + (a+4) + (a+8) + \ldots + (a+4(n-1)) = 75 ]

Это выражение является суммой арифметической прогрессии, которая имеет ( n ) слагаемых. Сумма ( S_n ) первых ( n ) членов арифметической прогрессии определяется формулой:

[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1) \cdot d) ]

где ( d ) — разность прогрессии. В нашем случае ( d = 4 ), поэтому:

[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + 4(n-1)) ]

Учитывая, что ( S_n = 75 ), получаем:

[ \frac{n}{2} \cdot (2a + 4n - 4) = 75 ]

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

[ n \cdot (2a + 4n - 4) = 150 ]

Также известно, что наибольшая сторона равна 23. Так как наибольшая сторона в прогрессии — это последняя сторона, то:

[ a + 4(n-1) = 23 ]

Отсюда выражаем ( a ):

[ a = 23 - 4(n-1) ] [ a = 23 - 4n + 4 ] [ a = 27 - 4n ]

Теперь подставим это выражение для ( a ) в уравнение для периметра:

[ n \cdot (2(27 - 4n) + 4n - 4) = 150 ]

Упростим выражение в скобках:

[ 2(27 - 4n) + 4n - 4 = 54 - 8n + 4n - 4 ] [ = 50 - 4n ]

Подставляем в уравнение для периметра:

[ n \cdot (50 - 4n) = 150 ]

Раскрываем скобки:

[ 50n - 4n^2 = 150 ]

Приводим уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

[ 4n^2 - 50n + 150 = 0 ]

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

[ 2n^2 - 25n + 75 = 0 ]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) равен:

[ D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 75 ] [ = 625 - 600 ] [ = 25 ]

Корни уравнения находятся по формуле:

[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставляем значения:

[ n = \frac{25 \pm \sqrt{25}}{4} ] [ n = \frac{25 \pm 5}{4} ]

Получаем два корня:

[ n_1 = \frac{30}{4} = 7.5 ] [ n_2 = \frac{20}{4} = 5 ]

Поскольку количество сторон должно быть целым числом, верным ответом будет ( n = 5 ).

Таким образом, данный многоугольник имеет 5 сторон.

Пусть количество сторон многоугольника равно n, а наименьшая сторона равна а. Тогда сумма длин всех сторон равна периметру:

S = n/2 * (2a + (n-1)d) = 75,

где d - разность арифметической прогрессии. Подставим известные данные:

n/2 * (2a + (n-1)4) = 75, n(2a + 4(n-1)) = 150, n(2a + 4n - 4) = 150, 2an + 4n^2 - 4n = 150.

Также известно, что наибольшая сторона равна 23, то есть а + (n-1)d = 23:

a + 4(n-1) = 23, a + 4n - 4 = 23, a + 4n = 27.

Теперь можем решить систему уравнений:

2an + 4n^2 - 4n = 150, a + 4n = 27.

Подставляем a = 27 - 4n в первое уравнение:

2n(27 - 4n) + 4n^2 - 4n = 150, 54n - 8n^2 + 4n^2 - 4n = 150, 4n^2 + 50n - 150 = 0, n^2 + 12.5n - 37.5 = 0.

Решая квадратное уравнение, получаем два корня n1 ≈ 2.5 и n2 ≈ -15. В данном контексте количество сторон многоугольника не может быть дробным или отрицательным, поэтому n = 3.

Ответ: данный многоугольник имеет 3 стороны.