Два мотоциклиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В и встретились через 20 минут. Прибыв в пункты В и А соответственно, мотоциклисты сразу же повернули назад и встретились вновь. Через сколько минут после первой встречи это произошло?
40 минут.
Чтобы решить эту задачу, начнем с анализа движения мотоциклистов.
Пусть расстояние между пунктами A и B равно ( S ). Обозначим скорость первого мотоциклиста как ( v_1 ), а второго — как ( v_2 ). Мотоциклисты встретились через 20 минут после выезда, следовательно, за это время они вместе преодолели расстояние ( S ).
Поскольку они двигались навстречу друг другу, то их относительная скорость равна ( v_1 + v_2 ). Таким образом, можно записать уравнение для времени первой встречи:
[ \frac{S}{v_1 + v_2} = \frac{1}{3} \text{ часа} \quad (\text{так как 20 минут = } \frac{1}{3} \text{ часа}) ]
Отсюда можно выразить ( S ):
[ S = \frac{1}{3} (v_1 + v_2) ]
После первой встречи первый мотоциклист продолжает движение в сторону B, а второй — в сторону A. Достигнув противоположных пунктов, они разворачиваются и снова едут навстречу друг другу.
Чтобы найти время до второй встречи после первой, нужно определить, сколько времени займет у каждого мотоциклиста преодоление полного расстояния ( S ) и еще половины расстояния до новой встречи.
Первый мотоциклист после первой встречи проедет расстояние ( S ) со скоростью ( v_1 ), затем развернется и начнет двигаться обратно. Второй мотоциклист делает то же самое, только в обратном направлении.
Время, необходимое каждому мотоциклисту, чтобы вернуться к точке новой встречи после первой встречи, равно времени для прохождения полного расстояния ( S ) и половины пути, который они снова пройдут навстречу друг другу:
[ \frac{S}{v_1} + \frac{S/2}{v_1} = \frac{3S}{2v_1} ]
и соответственно для второго мотоциклиста:
[ \frac{S}{v_2} + \frac{S/2}{v_2} = \frac{3S}{2v_2} ]
Для того чтобы они встретились снова, нужно, чтобы оба преодолели равные дополнительные пути, что происходит через ( \frac{S}{v_1 + v_2} ) времени после того, как они достигли пунктов B и A.
Таким образом, дополнительное время до второй встречи равно времени, за которое они проходят расстояние ( S ):
[ t = \frac{S}{v_1 + v_2} = \frac{1}{3} \text{ часа} = 20 \text{ минут} ]
Таким образом, вторая встреча произошла через 20 минут после первой.
Пусть расстояние между пунктами А и В равно D, а скорости мотоциклистов равны V1 и V2 соответственно.
При первой встрече суммарное расстояние, которое проехали мотоциклисты, равно D, а время равно 20 минут. Следовательно, V1 20 + V2 20 = D.
После того как они разъехались, мотоциклисты пройдут расстояние D в разные стороны. При встрече второй раз время, которое прошло, можно найти как D/(V1 + V2).
Итак, время встречи второй раз равно D/(V1 + V2), что можно переписать как D/(V1 + V2) = D/(V1 + V2) 20 = D 20 / (V1 20 + V2 20) = 20 * 20 = 400 минут.
Таким образом, мотоциклисты встретились второй раз через 400 минут после первой встречи.
