Два угла треугольника равны 60 градусов и 45 градусов,а сторона,лежащая против большего угла из этих...

Давайте разберем задачу по шагам.

1. Анализ задачи и свойства треугольников

У нас дан треугольник, в котором два угла известны: (60^\circ) и (45^\circ). Третий угол треугольника можно найти, зная, что сумма углов треугольника равна (180^\circ). Таким образом: [ \text{Третий угол } = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ. ] Итак, углы треугольника: (60^\circ), (45^\circ), (75^\circ).

Также известно, что сторона, лежащая против угла (60^\circ), равна (3\sqrt{2}) см. Нужно найти длину стороны, лежащей против угла (45^\circ).

2. Использование теоремы синусов

Для решения задачи удобно воспользоваться теоремой синусов, которая утверждает: [ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, ] где (a), (b), (c) — стороны треугольника, а (A), (B), (C) — углы, лежащие против этих сторон.

Обозначим:

• сторону, лежащую против угла (75^\circ), как (a),
• сторону, лежащую против угла (60^\circ), как (b = 3\sqrt{2}),
• сторону, лежащую против угла (45^\circ), как (c).

Подставим известные данные в теорему синусов: [ \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{c}{\sin 45^\circ}. ]

3. Подстановка значений

Подставим (b = 3\sqrt{2}), (\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}), (\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}): [ \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}. ]

4. Упрощение уравнения

Сначала упростим левую часть: [ \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}. ]

Теперь упростим правую часть: [ \frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = c \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2c}{\sqrt{2}}. ]

Итак, уравнение становится: [ \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2c}{\sqrt{2}}. ]

5. Решение относительно (c)

Умножим обе части уравнения на (\sqrt{3}\sqrt{2}) (чтобы избавиться от знаменателей): [ 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2c \cdot \sqrt{3}. ]

[ 12 = 2c\sqrt{3}. ]

Разделим обе части на (2\sqrt{3}): [ c = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}. ]

Умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{3}), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: [ c = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}. ]

6. Ответ

Длина стороны, лежащей против угла (45^\circ), равна: [ \boxed{2\sqrt{3} \, \text{см}}. ]

Для решения задачи сначала определим, какие углы и стороны мы имеем. В треугольнике один угол равен 60 градусов, а другой — 45 градусов. Это значит, что третий угол можно найти по формуле:

[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ ]

где (\alpha = 60^\circ), (\beta = 45^\circ), а (\gamma) — третий угол. Подставим известные значения:

[ 60^\circ + 45^\circ + \gamma = 180^\circ ] [ \gamma = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ ]

Теперь у нас есть все углы треугольника: (60^\circ), (45^\circ) и (75^\circ).

Сторона, лежащая против угла (60^\circ) (большего из углов, который мы рассматриваем), равна (c = 3\sqrt{2}) см. Обозначим стороны треугольника следующим образом:

• (a) — сторона, против угла (45^\circ),
• (b) — сторона, против угла (75^\circ),
• (c) — сторона, против угла (60^\circ).

Для нахождения сторон треугольника воспользуемся теоремой синусов:

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]

где (A = 45^\circ), (B = 75^\circ), (C = 60^\circ).

Теперь можем записать:

[ \frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin 60^\circ} ]

Зная, что (\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}) и (\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}), подставим эти значения:

[ \frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} ]

Упростим правую часть:

[ \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6} ]

Теперь у нас есть уравнение:

[ \frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{6} ]

Умножим обе части уравнения на (\frac{\sqrt{2}}{2}):

[ a = 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ]

Теперь нашли длину стороны (a), лежащей против угла (45^\circ):

[ a = 2\sqrt{3} \text{ см} ]

Таким образом, длина стороны треугольника, лежащей против меньшего из углов (45 градусов), равна (2\sqrt{3}) см.