Если натуральное число a не делится на 3,то 5a не делится на 3.

Если натуральное число a не делится на 3, то 5a также не будет делиться на 3.

Рассмотрим утверждение: "Если натуральное число ( a ) не делится на 3, то ( 5a ) не делится на 3."

Для начала, вспомним, что значит, когда число делится или не делится на 3. Число делится на 3, если его остаток от деления на 3 равен 0. Если число ( a ) не делится на 3, это означает, что остаток от деления ( a ) на 3 равен либо 1, либо 2.

Теперь рассмотрим два возможных случая для числа ( a ):

1. ( a \equiv 1 \pmod{3} )
2. ( a \equiv 2 \pmod{3} )

Исследуем каждый случай:

Случай 1: ( a \equiv 1 \pmod{3} )

Это означает, что ( a ) можно записать как ( a = 3k + 1 ), где ( k ) — некоторое целое число. Умножим ( a ) на 5:

[ 5a = 5(3k + 1) = 15k + 5 ]

Теперь найдём остаток от деления ( 5a ) на 3:

[ 5a \equiv 15k + 5 \pmod{3} ] [ 15k \equiv 0 \pmod{3} \quad (\text{поскольку 15 делится на 3}) ] [ 5 \equiv 2 \pmod{3} ]

Таким образом, ( 5a \equiv 2 \pmod{3} ). Это означает, что ( 5a ) не делится на 3.

Случай 2: ( a \equiv 2 \pmod{3} )

Это означает, что ( a ) можно записать как ( a = 3k + 2 ), где ( k ) — некоторое целое число. Умножим ( a ) на 5:

[ 5a = 5(3k + 2) = 15k + 10 ]

Теперь найдём остаток от деления ( 5a ) на 3:

[ 5a \equiv 15k + 10 \pmod{3} ] [ 15k \equiv 0 \pmod{3} \quad (\text{поскольку 15 делится на 3}) ] [ 10 \equiv 1 \pmod{3} \quad (\text{поскольку } 10 = 3 \times 3 + 1) ]

Таким образом, ( 5a \equiv 1 \pmod{3} ). Это означает, что ( 5a ) не делится на 3.

Мы рассмотрели все возможные случаи для числа ( a ) и в обоих случаях убедились, что ( 5a ) не делится на 3, если ( a ) не делится на 3.

Следовательно, утверждение "Если натуральное число ( a ) не делится на 3, то ( 5a ) не делится на 3" является верным.

Для доказательства данного утверждения можно воспользоваться методом от противного. Предположим, что число 5a делится на 3. Это означает, что существует такое целое число k, что 5a = 3k. Тогда мы можем выразить число a через это уравнение: a = 3k/5. Однако, так как число a должно быть натуральным, то a не может быть равно 3k/5, так как это приведет к дробному значению. Следовательно, наше предположение о том, что 5a делится на 3, неверно. Таким образом, если натуральное число a не делится на 3, то 5a также не будет делиться на 3.