Гражданин N взял кредит в банке на 250 тыс руб под r% годовых, в первый год гражданин N выплатил 150...

Пусть r - это годовая процентная ставка, тогда мы можем составить уравнение для суммы, которую гражданин N должен выплатить за каждый год:

1 год: 250000 + 250000r - 150000 = 250000(1 + r) - 150000 2 год: (250000(1 + r) - 150000) + (250000(1 + r) - 150000)r - 180000 = 250000(1 + r)^2 - 150000*(1 + r) - 180000

Так как гражданин N полностью погасил кредит за 2 года, сумма выплат за 1 и 2 год должны равняться 250000:

250000(1 + r) - 150000 = 250000 250000(1 + r)^2 - 150000*(1 + r) - 180000 = 250000

Решая это уравнение, мы найдем r = 20%.

Давайте обозначим сумму кредита как Х. За первый год гражданин N выплатил 150 тыс рублей, что составляет 150/Х от общей суммы кредита. Значит, осталось неоплаченным 100/Х от суммы кредита. За второй год гражданин N выплатил еще 180 тыс рублей, что составляет 180/Х от общей суммы кредита. Теперь осталось неоплаченным 0 рублей. Составим уравнение: 150/Х + 180/Х = 1 330/Х = 1 Х = 330 Так как процентная ставка r% годовых, то за 2 года гражданин N выплатил 330 (1 + r/100) = 330 (1 + r/100) рублей. По условию задачи это равно 330 тыс + 150 тыс + 180 тыс = 660 тыс рублей. Составляем уравнение: 330 * (1 + r/100) = 660 1 + r/100 = 660/330 1 + r/100 = 2 r/100 = 1 r = 100 Ответ: r = 100%.

Конечно, давайте разберем задачу подробно.

Гражданин N взял кредит в банке на сумму 250 тыс. рублей под неизвестный процент r% годовых и полностью погасил его за два года, выплачивая в первый год 150 тыс. рублей, а во второй год – 180 тыс. рублей. Необходимо найти значение r.

1. Начнем с первого года:

   • В первый год гражданин N взял кредит в размере 250 тыс. рублей.
   • В конце первого года он должен заплатить проценты по кредиту. Проценты за первый год составляют ( \frac{r}{100} ) от суммы кредита.
   • Таким образом, сумма долга в конце первого года будет ( 250 \text{ тыс. руб.} \times \left(1 + \frac{r}{100}\right) ).

2. Вычислим сумму долга после выплаты:

   • В первый год гражданин N выплатил 150 тыс. рублей.
   • После выплаты долга остаток составит ( 250 \text{ тыс. руб.} \times \left(1 + \frac{r}{100}\right) - 150 \text{ тыс. руб.} ).

3. Переходим ко второму году:

   • К началу второго года остаток долга составляет ( 250 \text{ тыс. руб.} \times \left(1 + \frac{r}{100}\right) - 150 \text{ тыс. руб.} ).
   • На эту сумму начисляются проценты за второй год: ( \left(250 \left(1 + \frac{r}{100}\right) - 150\right) \times \left(1 + \frac{r}{100}\right) ).

4. В конце второго года долг должен быть погашен:

   • Гражданин N выплатил 180 тыс. рублей, чтобы полностью погасить кредит.
   • Таким образом, уравнение для суммы долга будет: ( \left(250 \left(1 + \frac{r}{100}\right) - 150\right) \left(1 + \frac{r}{100}\right) = 180 ).

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:

[ \left(250 \left(1 + \frac{r}{100}\right) - 150\right) \left(1 + \frac{r}{100}\right) = 180 ]

[ \left(250 + 2.5r - 150\right) \left(1 + \frac{r}{100}\right) = 180 ]

[ \left(100 + 2.5r\right) \left(1 + \frac{r}{100}\right) = 180 ]

Раскроем скобки:

[ 100 \left(1 + \frac{r}{100}\right) + 2.5r \left(1 + \frac{r}{100}\right) = 180 ]

[ 100 + r + \frac{2.5r^2}{100} + 2.5r = 180 ]

[ 100 + r + 0.025r^2 + 2.5r = 180 ]

[ 100 + 3.5r + 0.025r^2 = 180 ]

Переносим все в левую часть уравнения для приведения к стандартному виду квадратного уравнения:

[ 0.025r^2 + 3.5r + 100 - 180 = 0 ]

[ 0.025r^2 + 3.5r - 80 = 0 ]

Умножим все уравнение на 40, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:

[ r^2 + 140r - 3200 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем формулу для корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):

[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Где ( a = 1 ), ( b = 140 ), ( c = -3200 ):

[ r = \frac{-140 \pm \sqrt{140^2 - 4 \times 1 \times (-3200)}}{2 \times 1} ]

[ r = \frac{-140 \pm \sqrt{19600 + 12800}}{2} ]

[ r = \frac{-140 \pm \sqrt{32400}}{2} ]

[ r = \frac{-140 \pm 180}{2} ]

Получаем два корня:

[ r = \frac{40}{2} = 20 ]

[ r = \frac{-320}{2} = -160 ]

Поскольку процентная ставка не может быть отрицательной, мы выберем положительное значение:

[ r = 20 ]

Таким образом, процентная ставка составляет 20% годовых.