Имеется 3 штырька, на один из которых насажены 4 кольца. За сколько ходов можно перенести пирамиду из...

Задача о переносе колец с одного штырька на другой известна как задача о ханойских башнях. Для решения этой задачи используются следующие правила:

1. Разрешается переносить только одно кольцо за один ход.
2. Нельзя класть большее кольцо на меньшее.

Для переноса ( n ) колец с одного штырька на другой, используя третий штырек в качестве вспомогательного, минимальное количество ходов ( H(n) ) определяется по формуле:

[ H(n) = 2^n - 1 ]

Где:

• ( n ) — количество колец.

В вашем случае, у вас есть 4 кольца (( n = 4 )). Подставим это значение в формулу:

[ H(4) = 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15 ]

Таким образом, для переноса 4 колец с одного штырька на другой минимальное количество ходов составляет 15.

Алгоритм переноса:

1. Перенесите 3 кольца с исходного штырька на вспомогательный штырёк.
2. Перенесите 4-е (самое большое) кольцо на целевой штырёк.
3. Перенесите 3 кольца с вспомогательного штырька на целевой штырёк.

Подробный процесс:

• Шаг 1: Переносим 3 кольца с первого штырька на второй (вспомогательный):
  • Переносим 1 кольцо на второй штырёк.
  • Переносим 2-е кольцо на третий штырёк.
  • Переносим 1 кольцо с второго штырька на третий штырёк.
  • Переносим 3-е кольцо на второй штырёк.
  • Переносим 1 кольцо с третьего штырька на первый штырёк.
  • Переносим 2-е кольцо с третьего штырька на второй штырёк.
  • Переносим 1 кольцо с первого штырька на второй штырёк.

Это занимает 7 ходов (перенос 3 колец).

• Шаг 2: Переносим 4-е кольцо на целевой штырёк (1 ход).

• Шаг 3: Переносим 3 кольца со второго штырька на целевой штырёк:

  • Переносим 1 кольцо на первый штырёк.
  • Переносим 2-е кольцо на второй штырёк.
  • Переносим 1 кольцо с первого штырька на второй штырёк.
  • Переносим 3-е кольцо на целевой штырёк.
  • Переносим 1 кольцо с второго штырька на первый штырёк.
  • Переносим 2-е кольцо с второго штырька на целевой штырёк.
  • Переносим 1 кольцо с первого штырька на целевой штырёк.

Это занимает ещё 7 ходов.

Таким образом, общее количество ходов для переноса 4 колец составляет ( 7 + 1 + 7 = 15 ).

Ответ: минимальное количество ходов для переноса 4 колец составляет 15.

Задача, описанная в вопросе, представляет собой классическую математическую головоломку, известную как "Ханойская башня". Давайте разберем её подробно.

Условия задачи:

1. Есть три штыря (назовем их A, B, C).
2. На одном из штырей (например, A) насажены 4 кольца, причем кольца расположены в порядке убывания размера (самое большое кольцо внизу, самое маленькое наверху).
3. Нужно перенести всю пирамиду из 4 колец на другой штырь (например, C), используя третий штырь как вспомогательный.
4. За один ход разрешается переносить только одно кольцо.
5. Нельзя класть большее кольцо на меньшее.

Математическое решение:

Для задачи Ханойской башни с ( n ) кольцами минимальное количество ходов, необходимое для переноса пирамиды, определяется формулой:

[ T(n) = 2^n - 1 ]

Где:

• ( T(n) ) — минимальное число ходов,
• ( n ) — количество колец.

Почему работает эта формула?

1. Чтобы перенести пирамиду из ( n ) колец с одного штыря на другой, нужно:
   • Сначала перенести верхние ( n-1 ) колец на вспомогательный штырь (это требует ( T(n-1) ) ходов).
   • Затем перенести самое большое кольцо (самое нижнее из ( n )) на целевой штырь (это 1 ход).
   • Наконец, перенести ( n-1 ) колец с вспомогательного штыря на целевой штырь поверх самого большого кольца (это снова ( T(n-1) ) ходов).
2. Таким образом, общее количество ходов — это: [ T(n) = T(n-1) + 1 + T(n-1) = 2 \cdot T(n-1) + 1 ] Эта рекуррентная формула при разворачивании дает общее выражение ( T(n) = 2^n - 1 ).

Решение для ( n = 4 ):

Подставим ( n = 4 ) в формулу ( T(n) = 2^n - 1 ): [ T(4) = 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15 ]

Таким образом, минимальное количество ходов для переноса пирамиды из 4 колец составляет 15 ходов.

Пошаговый пример (описание процесса):

Для лучшего понимания, рассмотрим порядок действий:

1. Перенести 3 верхних кольца с штыря A на вспомогательный штырь B (это требует 7 ходов).
2. Перенести самое большое кольцо (4-е) с штыря A на целевой штырь C (1 ход).
3. Перенести 3 кольца с штыря B на штырь C поверх большого кольца (это снова 7 ходов).

Итого: [ 7 + 1 + 7 = 15 \text{ ходов}. ]

Обобщение:

Если количество колец больше, например 5, 6 и т.д., можно использовать ту же формулу ( T(n) = 2^n - 1 ), чтобы рассчитать минимальное число ходов.