Интеграл 3(2x^2-1)^2dx

Интеграл 3(2x^2-1)^2dx равен 2x^5 - 4x^3 + x + C, где C - произвольная постоянная.

Для вычисления данного интеграла нужно раскрыть скобки и затем проинтегрировать каждый член отдельно. Получим:

3(2x^2-1)^2 = 3(4x^4 - 4x^2 + 1) = 12x^4 - 12x^2 + 3

Теперь проинтегрируем каждый член:

∫12x^4 dx = 12 (1/5)x^5 + C = 12/5 x^5 + C ∫-12x^2 dx = -12 * (1/3)x^3 + C = -4x^3 + C ∫3 dx = 3x + C

Итак, интеграл от функции 3(2x^2-1)^2dx равен 12/5 * x^5 - 4x^3 + 3x + C, где C - произвольная постоянная.

Для вычисления интеграла ( \int 3(2x^2 - 1)^2 \, dx ) сначала упростим выражение под интегралом.

1. Раскроем скобки: [ (2x^2 - 1)^2 = (2x^2 - 1)(2x^2 - 1) ] Используем формулу квадрата разности: [ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ] где ( a = 2x^2 ) и ( b = 1 ). Подставим значения: [ (2x^2)^2 - 2 \cdot 2x^2 \cdot 1 + 1^2 = 4x^4 - 4x^2 + 1 ]

2. Подставим это выражение в интеграл: [ \int 3(2x^2 - 1)^2 \, dx = \int 3(4x^4 - 4x^2 + 1) \, dx ]

3. Вынесем коэффициент 3 за знак интеграла: [ = 3 \int (4x^4 - 4x^2 + 1) \, dx ]

4. Разделим интеграл на три отдельных интеграла: [ = 3 \left( \int 4x^4 \, dx - \int 4x^2 \, dx + \int 1 \, dx \right) ]

5. Вычислим каждый из интегралов:

   • (\int 4x^4 \, dx = \frac{4}{5}x^5 + C_1)
   • (\int 4x^2 \, dx = \frac{4}{3}x^3 + C_2)
   • (\int 1 \, dx = x + C_3)

   Обратите внимание, что (C_1), (C_2) и (C_3) — постоянные интегрирования. Их можно объединить в одну общую постоянную (C).

6. Подставим результаты интегрирования: [ = 3 \left( \frac{4}{5}x^5 - \frac{4}{3}x^3 + x \right) + C ]

7. Умножим на 3: [ = \frac{12}{5}x^5 - 4x^3 + 3x + C ]

Таким образом, интеграл ( \int 3(2x^2 - 1)^2 \, dx ) равен: [ \frac{12}{5}x^5 - 4x^3 + 3x + C ] где ( C ) — постоянная интегрирования.