Исследовать функцию y=(x^2-1)/(x^2 +1) и построить схематично её график

Для начала рассмотрим область определения функции y=(x^2-1)/(x^2 +1). Деление на ноль невозможно, поэтому x^2 +1 не может равняться нулю. Следовательно, x^2 +1 ≠ 0, откуда x ≠ ±i. Таким образом, область определения функции - множество всех действительных чисел.

Теперь найдем производную функции y=(x^2-1)/(x^2 +1). Для этого используем правило дифференцирования частного двух функций: (f/g)' = (f'g - fg') / g^2. f(x) = x^2 - 1, g(x) = x^2 + 1. f'(x) = 2x, g'(x) = 2x. Тогда y' = ((2x)(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x))/ (x^2 + 1)^2 = (2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x) / (x^2 + 1)^2 = 4x / (x^2 + 1)^2.

Теперь найдем точки экстремума функции y=(x^2-1)/(x^2 +1). Для этого приравняем производную к нулю: 4x / (x^2 + 1)^2 = 0. Так как знаменатель не равен нулю, то это уравнение имеет решение только при x = 0.

Построим график функции y=(x^2-1)/(x^2 +1). Он будет иметь асимптоты y = 1 и y = -1, так как при x стремящемся к плюс или минус бесконечности, значение функции стремится к 1. Точка экстремума x=0 будет являться точкой перегиба графика.

Таким образом, график функции y=(x^2-1)/(x^2 +1) будет выглядеть следующим образом:

• Вертикальные асимптоты в точках x = ±i.
• Горизонтальные асимптоты y = 1 и y = -1.
• Точка перегиба графика в точке (0, -1).

Для исследования функции ( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} ) и построения её графика, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Область определения функции: Функция ( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} ) определена для всех значений ( x ), так как знаменатель ( x^2 + 1 ) никогда не равен нулю (квадрат любого числа плюс единица всегда больше нуля).

2. Нахождение нулей функции: Чтобы найти нули функции, приравняем числитель к нулю: [ x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1. ] Следовательно, функция пересекает ось ( x ) в точках ( x = 1 ) и ( x = -1 ).

3. Асимптоты:

   • Вертикальные асимптоты: их нет, так как функция определена для всех ( x ).
   • Горизонтальные асимптоты: исследуем предел функции при ( x \to \pm\infty ): [ \lim{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = \lim{x \to \pm\infty} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1. ] Таким образом, ( y = 1 ) — это горизонтальная асимптота.

4. Проверка на четность/нечетность функции: [ y(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{(-x)^2 + 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = y(x). ] Функция является четной, что означает симметрию относительно оси ( y ).

5. Исследование на монотонность и экстремумы: Найдем производную функции: [ y' = \left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right)' = \frac{(x^2 - 1)'(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x(x^2 + 1 - x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}. ] Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: [ \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} = 0 \implies x = 0. ] Исследуем знак производной до и после точки ( x = 0 ):

   • Для ( x < 0 ), ( y' < 0 ), функция убывает.
   • Для ( x > 0 ), ( y' > 0 ), функция возрастает.

   В точке ( x = 0 ) функция имеет локальный минимум. Найдем значение функции в этой точке: [ y(0) = \frac{0^2 - 1}{0^2 + 1} = -1. ]

6. Построение графика: На основе анализа, можно сделать следующие выводы для построения графика:

   • Функция пересекает ось ( x ) в точках ( x = 1 ) и ( x = -1 ).
   • Функция имеет горизонтальную асимптоту ( y = 1 ).
   • Функция симметрична относительно оси ( y ).
   • Функция имеет локальный минимум в точке ( (0, -1) ).
   • Функция убывает на интервале ( (-\infty, 0) ) и возрастает на интервале ( (0, +\infty) ).

Для построения графика можно отметить эти ключевые точки и особенности:

1. Точки пересечения с осью ( x ): ((1, 0)) и ((-1, 0)).
2. Локальный минимум в точке ((0, -1)).
3. Поведение функции на бесконечности, стремление к горизонтальной асимптоте ( y = 1 ).

На основе этих данных можно построить схематичный график функции.