Исследуйте функцию с помощью производной и постройте график Y=2-3x^2-x^3

Для исследования функции ( Y = 2 - 3x^2 - x^3 ) с помощью производной, начнем с нахождения её производной.

1. Нахождение производной

Функция ( Y ) является многочленом, и мы можем найти её производную по ( x ) следующим образом:

[ Y' = \frac{d}{dx}(2 - 3x^2 - x^3) = 0 - 6x - 3x^2 = -3x^2 - 6x ]

2. Нахождение критических точек

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

[ -3x^2 - 6x = 0 ]

Вынесем общий множитель:

[ -3x(x + 2) = 0 ]

Это уравнение имеет два решения:

[ x = 0 \quad \text{и} \quad x + 2 = 0 \implies x = -2 ]

3. Определение знака производной

Теперь мы определим знак производной в промежутках, определяемых критическими точками ( x = -2 ) и ( x = 0 ). Разделим числовую ось на интервалы: ( (-\infty, -2) ), ( (-2, 0) ), ( (0, +\infty) ).

• Для ( x < -2 ) (например, ( x = -3 )): [ Y'(-3) = -3(-3)^2 - 6(-3) = -3(9) + 18 = -27 + 18 = -9 \quad (\text{отрицательная}) ]

• Для ( -2 < x < 0 ) (например, ( x = -1 )): [ Y'(-1) = -3(-1)^2 - 6(-1) = -3(1) + 6 = -3 + 6 = 3 \quad (\text{положительная}) ]

• Для ( x > 0 ) (например, ( x = 1 )): [ Y'(1) = -3(1)^2 - 6(1) = -3 - 6 = -9 \quad (\text{отрицательная}) ]

4. Анализ критических точек

• В точке ( x = -2 ) производная меняет знак с отрицательного на положительный, следовательно, это минимум функции.
• В точке ( x = 0 ) производная меняет знак с положительного на отрицательный, следовательно, это максимум функции.

5. Нахождение значений функции в критических точках

Теперь найдем значения функции в критических точках и на границах:

• ( Y(-2) = 2 - 3(-2)^2 - (-2)^3 = 2 - 3(4) + 8 = 2 - 12 + 8 = -2 )
• ( Y(0) = 2 - 3(0)^2 - (0)^3 = 2 - 0 - 0 = 2 )

6. Определение пределов функции

Теперь рассмотрим поведение функции на границах:

• ( \lim_{x \to -\infty} Y = -\infty )
• ( \lim_{x \to +\infty} Y = -\infty )

7. Построение графика

Теперь, учитывая все найденные значения и анализ, мы можем нарисовать график функции.

• У нас есть минимум в точке ( (-2, -2) ).
• У нас есть максимум в точке ( (0, 2) ).
• Функция стремится к ( -\infty ) при ( x \to \pm \infty ).

График будет выглядеть следующим образом:

• Начинается в ( -\infty ) при ( x \to -\infty ), затем поднимается до максимума в ( (0, 2) ), после чего снова опускается к ( -\infty ) при ( x \to +\infty ).
• На интервале ( (-2, 0) ) функция возрастает, а на интервале ( (-\infty, -2) ) и ( (0, +\infty) ) — убывает.

Заключение

Мы исследовали функцию ( Y = 2 - 3x^2 - x^3 ) с помощью производной, нашли критические точки, определили их характер и построили график. Таким образом, мы получили полное представление о поведении функции.

Для функции ( Y = 2 - 3x^2 - x^3 ) найдем первую производную:

[ Y' = -6x - 3x^2 ]

Затем найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

[ -6x - 3x^2 = 0 \implies -3x(2 + x) = 0 ]

Критические точки: ( x = 0 ) и ( x = -2 ).

Теперь исследуем знак производной:

• При ( x < -2 ): ( Y' > 0 ) (функция возрастает)
• При ( -2 < x < 0 ): ( Y' < 0 ) (функция убывает)
• При ( x > 0 ): ( Y' < 0 ) (функция убывает)

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• ( Y(0) = 2 )
• ( Y(-2) = 2 - 3(-2)^2 - (-2)^3 = 2 - 12 + 8 = -2 )

Таким образом, у нас есть максимум в точке ( x = 0 ) с ( Y(0) = 2 ) и минимум в точке ( x = -2 ) с ( Y(-2) = -2 ).

График функции ( Y = 2 - 3x^2 - x^3 ) будет выглядеть как кубическая парабола, которая имеет максимум в ( (0, 2) ) и минимум в ( (-2, -2) ). Функция убывает для ( x > 0 ) и ( x < -2 ), а возрастает на интервале ( (-2, 0) ).

Для исследования функции ( y = 2 - 3x^2 - x^3 ) с помощью производной, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

1. Найдем первую производную функции

Первая производная функции ( y = 2 - 3x^2 - x^3 ) равна: [ y' = \frac{d}{dx}(2) - \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(x^3) ] [ y' = 0 - 6x - 3x^2 ] Таким образом: [ y' = -6x - 3x^2 ] или, что то же самое: [ y' = -3x(2 + x) ]

2. Найдем критические точки

Критические точки находятся там, где ( y' = 0 ) или ( y' ) не существует. В данном случае ( y' = -3x(2 + x) ) существует для всех ( x ), поэтому достаточно решить уравнение: [ y' = -3x(2 + x) = 0 ] Разложим на множители: [ -3x = 0 \quad \text{или} \quad 2 + x = 0 ] Решаем каждое из уравнений:

1. ( -3x = 0 \implies x = 0 ),
2. ( 2 + x = 0 \implies x = -2 ).

Таким образом, критические точки: ( x = 0 ) и ( x = -2 ).

3. Исследуем знак производной

Рассмотрим знак первой производной ( y' = -3x(2 + x) ). Для этого определим, где ( y' > 0 ) и ( y' < 0 ). Разобьем числовую ось на интервалы с учетом критических точек ( x = -2 ) и ( x = 0 ):

• Интервал ( (-\infty, -2) ),
• Интервал ( (-2, 0) ),
• Интервал ( (0, +\infty) ).

Возьмем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в ( y' ):

1. На интервале ( (-\infty, -2) ), например, для ( x = -3 ): [ y' = -3(-3)(2 - 3) = -3 \cdot (-3) \cdot (-1) = -9 < 0 ] Здесь ( y' < 0 ), функция убывает.
2. На интервале ( (-2, 0) ), например, для ( x = -1 ): [ y' = -3(-1)(2 - 1) = -3 \cdot (-1) \cdot 1 = 3 > 0 ] Здесь ( y' > 0 ), функция возрастает.
3. На интервале ( (0, +\infty) ), например, для ( x = 1 ): [ y' = -3(1)(2 + 1) = -3 \cdot 1 \cdot 3 = -9 < 0 ] Здесь ( y' < 0 ), функция убывает.

Итог:

• На ( (-\infty, -2) ): ( y' < 0 ), функция убывает.
• На ( (-2, 0) ): ( y' > 0 ), функция возрастает.
• На ( (0, +\infty) ): ( y' < 0 ), функция убывает.

4. Найдем точки экстремума

Точки экстремума находятся в критических точках ( x = -2 ) и ( x = 0 ), где производная меняет знак.

1. Для ( x = -2 ): Подставим ( x = -2 ) в исходную функцию ( y = 2 - 3x^2 - x^3 ): [ y(-2) = 2 - 3(-2)^2 - (-2)^3 = 2 - 3 \cdot 4 - (-8) = 2 - 12 + 8 = -2 ] Здесь ( y(-2) = -2 ). Знак производной меняется с «минуса» на «плюс», значит, в точке ( x = -2 ) функция имеет минимум.

2. Для ( x = 0 ): Подставим ( x = 0 ) в исходную функцию: [ y(0) = 2 - 3(0)^2 - (0)^3 = 2 ] Здесь ( y(0) = 2 ). Знак производной меняется с «плюса» на «минус», значит, в точке ( x = 0 ) функция имеет максимум.

Итак, экстремумы:

• Минимум: ( (-2, -2) ),
• Максимум: ( (0, 2) ).

5. Найдем вторую производную для исследования выпуклости

Вторая производная функции ( y = 2 - 3x^2 - x^3 ) равна: [ y'' = \frac{d}{dx}(-6x - 3x^2) = -6 - 6x ] [ y'' = -6(1 + x) ]

Исследуем знак второй производной:

1. При ( x > -1 ): ( y'' = -6(1 + x) < 0 ), функция вогнута вниз.
2. При ( x < -1 ): ( y'' = -6(1 + x) > 0 ), функция вогнута вверх.

Точка ( x = -1 ) — возможная точка перегиба. Подставим ( x = -1 ) в исходную функцию: [ y(-1) = 2 - 3(-1)^2 - (-1)^3 = 2 - 3 \cdot 1 - (-1) = 2 - 3 + 1 = 0 ] Точка перегиба: ( (-1, 0) ).

6. Построение графика

Теперь у нас есть вся информация для построения графика:

1. Функция убывает на ( (-\infty, -2) ), возрастает на ( (-2, 0) ), убывает на ( (0, +\infty) ).
2. Минимум: ( (-2, -2) ), максимум: ( (0, 2) ).
3. Точка перегиба: ( (-1, 0) ).
4. При ( x \to \pm\infty ), функция стремится к ( -\infty ) (так как старший член ( -x^3 )).

На основании этой информации можно построить график ( y = 2 - 3x^2 - x^3 ). График имеет форму кубической функции с экстремумами и точкой перегиба.