Для решения задачи используем формулу включений-исключений и анализ множеств. Обозначим:
- ( S ) — количество студентов, занимающихся спортом,
- ( N ) — количество студентов, занимающихся в НСО,
- ( H ) — количество студентов, занимающихся художественной самодеятельностью.
Имеем следующие данные:
- ( |S| = 42 )
- ( |N| = 30 )
- ( |H| = 28 )
- ( |S \cap N| = 5 )
- ( |S \cap H| = 10 )
- ( |N \cap H| = 8 )
- ( |S \cap N \cap H| = 3 )
1) Чтобы найти количество студентов, не посещающих ни одно из этих объединений, используем формулу включений-исключений:
[
|S \cup N \cup H| = |S| + |N| + |H| - |S \cap N| - |S \cap H| - |N \cap H| + |S \cap N \cap H|
]
Подставляем значения:
[
|S \cup N \cup H| = 42 + 30 + 28 - 5 - 10 - 8 + 3 = 80
]
Таким образом, количество студентов, не посещающих ни одно из объединений:
[
100 - 80 = 20
]
2) Количество студентов, занимающихся только спортом, вычисляется как:
[
|S| - |S \cap N| - |S \cap H| + |S \cap N \cap H| = 42 - 5 - 10 + 3 = 30
]
3) Количество студентов, занимающихся либо в НСО, либо художественной самодеятельностью (включая тех, кто занимается и там, и там), но не спортом:
Сначала находим тех, кто занимается только в НСО или только художественной самодеятельностью:
[
|N \setminus (S \cup H)| = |N| - |N \cap S| - |N \cap H| + |S \cap N \cap H| = 30 - 5 - 8 + 3 = 20
]
[
|H \setminus (S \cup N)| = |H| - |H \cap S| - |H \cap N| + |S \cap N \cap H| = 28 - 10 - 8 + 3 = 13
]
Теперь находим объединение этих множеств (не включая спорт):
[
|N \setminus S| + |H \setminus S| = 20 + 13 - |N \cap H \cap \overline{S}| = 20 + 13 - (8 - 3) = 28
]
4) Количество студентов, занимающихся либо спортом, либо художественной самодеятельностью, но не в НСО:
[
|S \setminus N| + |H \setminus N| = (42 - 5 - 10 + 3) + (28 - 8 - 10 + 3) = 30 + 13 = 43
]
5) Количество студентов, занимающихся в НСО или художественной самодеятельностью, но не спортом:
[
|N \cup H \setminus S| = |N \setminus S| + |H \setminus S| - |N \cap H \setminus S| = 20 + 13 - 5 = 28
]
Таким образом, количество студентов по каждой из категорий:
1) Не посещают ни одно объединение: 20
2) Занимаются только спортом: 30
3) Занимаются либо в НСО, либо художественной самодеятельностью: 45
4) Занимаются либо спортом, либо художественной самодеятельностью, но не в НСО: 43
5) Занимаются в НСО или художественной самодеятельностью, но не спортом: 28
