Из 25 контрольных работ, 5 из них оценены отлично, наугад извлекаются 3 работы Найти закон распределения...

Для нахождения закона распределения дискретной случайности величины x, нужно рассмотреть все возможные комбинации извлечения 3 работ из 25 и определить количество оцененных на отлично среди них.

Сначала определим общее количество способов извлечения 3 работ из 25 по формуле сочетаний: C(25, 3) = 25! / (3! (25-3)!) = 25! / (3! 22!) = 25 24 23 / 3 2 1 = 2300.

Теперь посчитаем количество способов извлечения хотя бы одной работы с отличной оценкой. Это может быть 1, 2 или все 3 работы.

Количество способов извлечения ровно 1 работы с отличной оценкой: C(5, 1) C(20, 2) = 5 (20! / (2! 18!)) = 5 190 = 950.

Количество способов извлечения ровно 2 работ с отличной оценкой: C(5, 2) C(20, 1) = 10 20 = 200.

Количество способов извлечения всех 3 работ с отличной оценкой: C(5, 3) = 10.

Теперь суммируем все варианты, где хотя бы одна работа имеет отличную оценку: 950 + 200 + 10 = 1160.

Вероятность события x>0 равна отношению количества благоприятных исходов к общему числу исходов: P(x>0) = 1160 / 2300 = 0.5043 или около 50.43%.

Рассмотрим задачу, в которой из 25 контрольных работ, 5 из них оценены на отлично, наугад извлекаются 3 работы. Нам нужно найти закон распределения дискретной случайной величины (X), равной числу оцененных на отлично работ среди извлеченных, и вероятности события (X > 0).

1. Определение случайной величины (X): Случайная величина (X) может принимать значения (0, 1, 2) или (3), в зависимости от того, сколько из извлеченных работ оценены на отлично.

2. Использование биномиального коэффициента: Для нахождения вероятности каждого исхода будем использовать биномиальные коэффициенты. Биномиальный коэффициент (\binom{n}{k}) определяет число способов выбрать (k) элементов из (n) элементов.

3. Вычисление вероятностей: Вероятность того, что среди извлеченных 3 работ (k) работ оценены на отлично, можно найти по формуле гипергеометрического распределения: [ P(X = k) = \frac{\binom{5}{k} \binom{20}{3-k}}{\binom{25}{3}} ] где:

   • (\binom{5}{k}) — число способов выбрать (k) отличных работ из 5.
   • (\binom{20}{3-k}) — число способов выбрать оставшиеся ((3-k)) работы из 20 работ, которые не оценены на отлично.
   • (\binom{25}{3}) — общее число способов выбрать 3 работы из 25.

4. Находим все вероятности:

   • Для (X = 0): [ P(X = 0) = \frac{\binom{5}{0} \binom{20}{3}}{\binom{25}{3}} = \frac{1 \cdot 1140}{2300} = \frac{1140}{2300} = 0.4957 ]

   • Для (X = 1): [ P(X = 1) = \frac{\binom{5}{1} \binom{20}{2}}{\binom{25}{3}} = \frac{5 \cdot 190}{2300} = \frac{950}{2300} = 0.4130 ]

   • Для (X = 2): [ P(X = 2) = \frac{\binom{5}{2} \binom{20}{1}}{\binom{25}{3}} = \frac{10 \cdot 20}{2300} = \frac{200}{2300} = 0.0870 ]

   • Для (X = 3): [ P(X = 3) = \frac{\binom{5}{3} \binom{20}{0}}{\binom{25}{3}} = \frac{10 \cdot 1}{2300} = \frac{10}{2300} = 0.0043 ]

5. Закон распределения случайной величины (X): [ \begin{array}{c|c} X & P(X) \ \hline 0 & 0.4957 \ 1 & 0.4130 \ 2 & 0.0870 \ 3 & 0.0043 \ \end{array} ]

6. Вычисление вероятности события (X > 0): [ P(X > 0) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) ] [ P(X > 0) = 0.4130 + 0.0870 + 0.0043 = 0.5043 ]

Таким образом, закон распределения случайной величины (X) и вероятность события (X > 0) найдены. Вероятность того, что среди извлеченных 3 работ хотя бы одна оценена на отлично, равна (0.5043).