Из 60 экзаменационных вопросов студент подготовил 50, на экзамене он должен ответить на 2 вопроса. Какова...

Для решения задачи о вероятности того, что студент ответит на оба вопроса из подготовленных, нам нужно рассмотреть общее количество вопросов и количество подготовленных вопросов.

Обозначим:

• ( n = 60 ) — общее количество экзаменационных вопросов,
• ( k = 50 ) — количество вопросов, которые студент подготовил,
• ( m = 2 ) — количество вопросов, на которые студент должен ответить.

Мы ищем вероятность того, что оба выбранных вопроса будут из подготовленных.

1. Общее количество способов выбрать 2 вопроса из 60:

Количество способов выбрать 2 вопроса из 60 можно вычислить с помощью формулы сочетаний: [ C(n, m) = \frac{n!}{m!(n-m)!} ] Для нашего случая: [ C(60, 2) = \frac{60!}{2!(60-2)!} = \frac{60 \times 59}{2 \times 1} = 1770 ]

1. Количество способов выбрать 2 вопроса из 50 подготовленных:

Аналогично, количество способов выбрать 2 вопроса из 50 подготовленных: [ C(50, 2) = \frac{50!}{2!(50-2)!} = \frac{50 \times 49}{2 \times 1} = 1225 ]

1. Вероятность того, что оба выбранных вопроса будут подготовленными:

Теперь мы можем найти вероятность того, что студент ответит на оба вопроса из подготовленных. Она равна отношению количества успешных исходов к общему количеству исходов: [ P = \frac{C(50, 2)}{C(60, 2)} = \frac{1225}{1770} ]

1. Упрощение дроби:

Чтобы упростить дробь, мы можем найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. [ P = \frac{1225 \div 245}{1770 \div 245} = \frac{5}{7.2} \approx 0.6944 ]

Итак, вероятность того, что студент ответит на оба вопроса, составляет: [ P \approx 0.69 ]

Таким образом, вероятность того, что студент успешно ответит на оба экзаменационных вопроса, равна приблизительно 0.694, или 69.4%.

Чтобы решить эту задачу, используем понятия комбинаторики и вероятности. Давайте разберем решение пошагово.

Условие задачи

• Всего экзаменационных вопросов: 60.
• Студент подготовил ответы на 50 вопросов.
• На экзамене студент должен ответить на 2 вопроса.
• Требуется найти вероятность того, что студент сможет ответить на оба вопроса, то есть оба выбранных вопроса окажутся из числа подготовленных.

Решение

1. Общее количество способов выбрать 2 вопроса из 60

Количество способов выбрать 2 вопроса из 60 можно найти с помощью формулы сочетаний:

[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}, ]

где (n) — общее количество элементов, (k) — количество выбираемых элементов.

В данном случае (n = 60) и (k = 2). Тогда:

[ C(60, 2) = \frac{60 \cdot 59}{2} = 1770. ]

Это общее количество всевозможных пар вопросов, которые могут быть выбраны на экзамене.

2. Количество способов выбрать 2 вопроса из подготовленных

Студент подготовил 50 вопросов, поэтому количество способов выбрать 2 вопроса из подготовленных также считается с помощью формулы сочетаний:

[ C(50, 2) = \frac{50 \cdot 49}{2} = 1225. ]

Это количество благоприятных исходов, когда оба выбранных вопроса окажутся из числа подготовленных.

3. Вероятность благоприятного исхода

Вероятность того, что оба выбранных вопроса окажутся из числа подготовленных, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

[ P = \frac{C(50, 2)}{C(60, 2)} = \frac{1225}{1770}. ]

Упростим дробь:

[ P = \frac{1225}{1770} = \frac{245}{354}. ]

Это дробь нельзя упростить дальше. Однако можно выразить её в десятичной форме:

[ P \approx 0.692. ]

4. Окончательный ответ

Вероятность того, что студент сможет ответить на оба вопроса, составляет примерно 69,2% или (\frac{245}{354}) в виде дроби.

Вывод

Шансы студента довольно высоки, поскольку он подготовился к большинству вопросов. Однако остаётся вероятность около 30,8% (100% - 69,2%), что хотя бы один из выбранных вопросов окажется неподготовленным.