Известно, что элемент а содержится в множестве А и в множестве В. Следует ли от сюда, что: 1) А принадлежит...

1) Нет, из того, что элемент а содержится в множествах А и В, не следует, что множество А принадлежит множеству В. Элемент а может быть общим для обоих множеств, но само множество А может содержать и другие элементы, которых нет в множестве В.

2) Аналогично, из того, что элемент а содержится в множествах А и В, не следует, что множество В принадлежит множеству А. Множество В может содержать другие элементы, кроме элемента а.

3) Также из того, что элемент а содержится в множествах А и В, не следует, что множество А равно множеству В. Множества могут содержать дополнительные элементы, которые не являются общими.

Таким образом, наличие элемента а в множествах А и В не позволяет делать выводы о принадлежности множеств друг к другу или их равенстве.

Рассмотрим по отдельности каждый из трех вопросов.

1) Следует ли отсюда, что ( A \subseteq B ) (множество ( A ) содержится в множестве ( B ))?

Нет, из того факта, что элемент ( a ) содержится и в ( A ), и в ( B ), не следует, что всё множество ( A ) содержится в множестве ( B ). Для того чтобы утверждать, что ( A \subseteq B ), каждый элемент множества ( A ) должен также принадлежать множеству ( B ). Приведем контрпример: пусть ( A = {a, c} ) и ( B = {a, b} ). В данном случае ( a \in A ) и ( a \in B ), но множество ( A ) не является подмножеством множества ( B ), так как элемент ( c \notin B ).

2) Следует ли отсюда, что ( B \subseteq A ) (множество ( B ) содержится в множестве ( A ))?

Аналогично первому пункту, из того, что элемент ( a ) содержится и в ( A ), и в ( B ), не следует, что всё множество ( B ) содержится в множестве ( A ). Для того чтобы утверждать, что ( B \subseteq A ), каждый элемент множества ( B ) должен также принадлежать множеству ( A ). Приведем контрпример: пусть ( A = {a, c} ) и ( B = {a, b} ). В данном случае ( a \in A ) и ( a \in B ), но множество ( B ) не является подмножеством множества ( A ), так как элемент ( b \notin A ).

3) Следует ли отсюда, что ( A = B ) (множества ( A ) и ( B ) равны)?

Нет, из того факта, что элемент ( a ) содержится и в ( A ), и в ( B ), не следует, что множества ( A ) и ( B ) равны. Для того чтобы множества ( A ) и ( B ) были равны, они должны содержать одни и те же элементы. Приведем контрпример: пусть ( A = {a, c} ) и ( B = {a, b} ). В данном случае ( a \in A ) и ( a \in B ), но ( A \neq B ), так как ( c \notin B ) и ( b \notin A ).

Таким образом, из факта, что элемент ( a ) содержится в множестве ( A ) и в множестве ( B ), не следует, что ( A \subseteq B ), ( B \subseteq A ) или ( A = B ).