К плоскости α проведена наклонная AB (A∈α). Длина наклонной равна 16 см, наклонная с плоскостью образует...

Чтобы найти расстояние от точки B до плоскости α, нужно воспользоваться характеристиками наклонной к плоскости.

Дано:

• Наклонная AB, где A лежит в плоскости α.
• Длина наклонной AB = 16 см.
• Угол между наклонной AB и плоскостью α = 60°.

Расстояние от точки B до плоскости α — это длина перпендикуляра, опущенного из точки B на плоскость α. Обозначим это расстояние как BH, где H — основание перпендикуляра из точки B на плоскость.

Отношение между наклонной, углом наклона и перпендикуляром можно выразить через тригонометрическую функцию косинуса. В данном случае:

[ \cos(60^\circ) = \frac{BH}{AB}. ]

Подставляем известные значения в формулу:

[ \cos(60^\circ) = \frac{BH}{16}. ]

Так как (\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}), уравнение примет вид:

[ \frac{1}{2} = \frac{BH}{16}. ]

Из этого уравнения найдём BH:

[ BH = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \text{ см}. ]

Таким образом, расстояние от точки B до плоскости α равно 8 см.

Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой косинусов. Обозначим расстояние от точки B до плоскости α как h. Тогда по теореме косинусов для треугольника AOB (где O - точка пересечения наклонной и плоскости) имеем:

AB^2 = AO^2 + OB^2 - 2 AO OB * cos(60°)

16^2 = h^2 + AO^2 - 2 h AO * cos(60°)

256 = h^2 + AO^2 - h * AO

Также имеем, что угол между наклонной и плоскостью равен 60°, следовательно треугольник AOB является прямоугольным, и угол между AO и AB равен 30°. Тогда можно записать:

AO = AB cos(30°) = 16 cos(30°) = 16 * √3 / 2 = 8√3

Подставив полученное значение AO в уравнение, получаем:

256 = h^2 + (8√3)^2 - h * 8√3

256 = h^2 + 643 - 8√3 h

256 = h^2 + 192 - 8√3 * h

h^2 - 8√3 * h + 64 = 0

Решив квадратное уравнение, найдем расстояние h от точки B до плоскости α.

Расстояние от точки B до плоскости α равно 8 см.