Как построить график у=х^4 и перечислить все свойства

График функции ( y = x^4 ) представляет собой параболу, но в отличие от обычной параболы ( y = x^2 ), она выглядит более "плоской" у оси ( y ) и более круто поднимается по мере увеличения ( |x| ). Для построения графика этой функции можно следовать следующим шагам:

1. Табличный метод: Выбрать несколько значений ( x ) (например, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3), подставить их в функцию и вычислить соответствующие значения ( y ). Затем отметить полученные точки на координатной плоскости и соединить их гладкой линией.

2. Использование графопостроителя или компьютерных программ: В современных условиях можно использовать различные программы для построения графиков (например, Desmos, GeoGebra, или даже Excel), которые позволяют получить более точное представление функции.

Свойства функции ( y = x^4 ):

• Область определения: ( (-\infty, \infty) ). Функция определена для всех действительных чисел.
• Область значений: ( [0, \infty) ). Значения функции не могут быть меньше нуля.
• Четность функции: Функция четная, так как ( (x^4) = (-x)^4 ). Это означает, что график симметричен относительно оси ординат (вертикальной оси ( y )).
• Точка перегиба: У функции ( y = x^4 ) нет точек перегиба, график всегда выпукл вверх.
• Экстремумы: Минимальное значение функции достигается в точке ( x = 0 ) и равно 0. Локальных максимумов у функции нет.
• Асимптоты: У функции нет асимптот.
• Производная и монотонность:
  • Первая производная ( y' = 4x^3 ). Функция возрастает при ( x > 0 ) и убывает при ( x < 0 ).
  • Вторая производная ( y'' = 12x^2 ). Функция выпукла вверх на всей числовой прямой, так как вторая производная всегда положительна.

График функции ( y = x^4 ) полезен для изучения основных свойств степенных функций, а также для решения различных математических и физических задач, где требуется учет квартичной зависимости.

Для построения графика у=х^4 необходимо использовать программу для построения графиков, такую как GeoGebra или Desmos.

Свойства графика у=х^4:

1. Форма графика: график у=х^4 имеет форму параболы, симметричной относительно оси y.
2. Поведение в окрестности нуля: график у=х^4 проходит через начало координат (0,0) и приближается к осям координат, но не пересекает их.
3. Нули функции: у=х^4 имеет нули в точке (0,0), что означает, что график пересекает ось x в этой точке.
4. Убывание и возрастание функции: график у=х^4 возрастает на всей области определения, если x>0, и убывает, если x<0.
5. Поведение на бесконечности: график у=х^4 стремится к бесконечности как x, так и y, при x стремящемся к бесконечности.
6. Точка экстремума: у=х^4 имеет точку экстремума в точке (0,0), где достигается минимальное значение функции.

Эти свойства позволяют лучше понять характеристики графика у=х^4 и его поведение на плоскости.