Какие из следующих соотношений справедливы: AUØ=A; AUØ=Ø.
Какие из следующих соотношений справедливы: AUØ=A; AUØ=Ø.
Рассмотрим два предложенных соотношения: ( A \cup \emptyset = A ) и ( A \cup \emptyset = \emptyset ).
( A \cup \emptyset = A ):
Согласно определению объединения множеств, объединение множеств ( A ) и ( B ) обозначается как ( A \cup B ) и включает в себя все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Формально: [ x \in A \cup B \iff (x \in A) \lor (x \in B). ]
Если ( B = \emptyset ) (пустое множество), то нет элементов, принадлежащих ( \emptyset ). Следовательно, для любого элемента ( x ): [ x \in A \cup \emptyset \iff (x \in A) \lor (x \in \emptyset) \iff (x \in A) \lor \text{ложь} \iff x \in A. ]
Таким образом, объединение любого множества ( A ) с пустым множеством ( \emptyset ) равно самому множеству ( A ). Соотношение ( A \cup \emptyset = A ) является справедливым.
( A \cup \emptyset = \emptyset ):
Это утверждение является ложным. Как было показано выше, объединение ( A \cup \emptyset ) содержит все элементы, которые принадлежат множеству ( A ). Если ( A ) не является пустым, то ( A \cup \emptyset ) также не будет пустым, так как оно содержит все элементы ( A ). Даже если ( A ) пусто, ( A \cup \emptyset = \emptyset ), но это частный случай, а не общее правило. Таким образом, утверждение ( A \cup \emptyset = \emptyset ) не является универсально справедливым.
В итоге, из предложенных соотношений справедливо только первое: ( A \cup \emptyset = A ).
Оба соотношения верны: AUØ=A и AUØ=Ø.
Для понимания данных соотношений нам необходимо разобраться с операцией объединения множеств (обозначается символом ∪) и понятием пустого множества (Ø).
AUØ = A: Это утверждение верно, так как объединение множества A с пустым множеством не изменяет множество A. Пустое множество не содержит никаких элементов, поэтому при объединении с ним другое множество остается неизменным.
AUØ = Ø: Это утверждение также верно, так как объединение множества A с пустым множеством даст нам пустое множество. При объединении множества, содержащего элементы, с пустым множеством результатом будет пустое множество.
Таким образом, оба данных соотношения справедливы: AUØ = A и AUØ = Ø.
