Lg^2x+4lg(10x)=1 решите пожалуйста

Для решения данного уравнения, сначала преобразуем его:

lg^2x + 4lg(10x) = 1 (lgx)^2 + 4(lg10 + lgx) = 1 (lgx)^2 + 4(1 + lgx) = 1 (lgx)^2 + 4 + 4lgx = 1 (lgx)^2 + 4lgx + 4 - 1 = 0 (lgx + 2)^2 = 1

Теперь извлечем корень из обеих сторон:

lgx + 2 = ±1 lgx = -2 ± 1

Теперь рассмотрим два случая:

1) lgx = -2 + 1 = -1 x = 10^(-1) = 0.1

2) lgx = -2 - 1 = -3 x = 10^(-3) = 0.001

Таким образом, уравнение lg^2x + 4lg(10x) = 1 имеет два корня: x = 0.1 и x = 0.001.

Конечно, давайте подробно разберем решение уравнения:

[ \lg^2(x) + 4 \lg(10x) = 1 ]

Для начала упростим выражение ( \lg(10x) ): [ \lg(10x) = \lg(10) + \lg(x) ] Известно, что ( \lg(10) = 1 ), поэтому у нас получается: [ \lg(10x) = 1 + \lg(x) ]

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение: [ \lg^2(x) + 4(1 + \lg(x)) = 1 ]

Раскроем скобки: [ \lg^2(x) + 4 + 4\lg(x) = 1 ]

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: [ \lg^2(x) + 4\lg(x) + 4 - 1 = 0 ] [ \lg^2(x) + 4\lg(x) + 3 = 0 ]

Теперь у нас получилось квадратное уравнение относительно ( \lg(x) ): [ (\lg(x))^2 + 4\lg(x) + 3 = 0 ]

Обозначим ( \lg(x) = t ). Тогда уравнение примет вид: [ t^2 + 4t + 3 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение. Для этого найдем его корни по формуле: [ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Здесь ( a = 1 ), ( b = 4 ), ( c = 3 ). Подставим эти значения в формулу: [ t = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} ] [ t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} ] [ t = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} ] [ t = \frac{-4 \pm 2}{2} ]

Получаем два корня: [ t_1 = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 ] [ t_2 = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3 ]

Теперь вернемся к переменной ( \lg(x) ): [ \lg(x) = -1 ] [ \lg(x) = -3 ]

Решим эти уравнения. Для этого вспомним, что (\lg(x) = -1) означает: [ x = 10^{-1} = \frac{1}{10} ] А (\lg(x) = -3) означает: [ x = 10^{-3} = \frac{1}{1000} ]

Таким образом, уравнение имеет два решения: [ x = \frac{1}{10} ] [ x = \frac{1}{1000} ]

Ответ: ( x = \frac{1}{10} ) и ( x = \frac{1}{1000} ).