Log 3x (1/27) • log 3 (27x) + 9>=0

Рассмотрим неравенство:

[ \log_{3x} \left(\frac{1}{27}\right) \cdot \log_3 (27x) + 9 \geq 0. ]

Разберем это неравенство шаг за шагом.

1. Распишем первый логарифм:

   [ \log_{3x} \left(\frac{1}{27}\right) = \frac{\log_3 \left(\frac{1}{27}\right)}{\log_3 (3x)}. ]

   Мы знаем, что (\frac{1}{27} = 3^{-3}), поэтому:

   [ \log_3 \left(\frac{1}{27}\right) = \log_3 (3^{-3}) = -3. ]

   Таким образом, первый логарифм становится:

   [ \log_{3x} \left(\frac{1}{27}\right) = \frac{-3}{\log_3 (3x)}. ]

2. Распишем второй логарифм:

   [ \log_3 (27x) = \log_3 (27) + \log_3 (x). ]

   Поскольку (27 = 3^3), то:

   [ \log_3 (27) = 3. ]

   Следовательно:

   [ \log_3 (27x) = 3 + \log_3 (x). ]

3. Подставим найденные выражения в исходное неравенство:

   [ \frac{-3}{\log_3 (3x)} \cdot (3 + \log_3 (x)) + 9 \geq 0. ]

4. Упростим выражение:

   [ \frac{-3(3 + \log_3 (x))}{\log_3 (3x)} + 9 \geq 0. ]

   Обозначим (\log_3 (x) = a). Тогда (\log_3 (3x) = 1 + a).

   Подставим (a) в неравенство:

   [ \frac{-3(3 + a)}{1 + a} + 9 \geq 0. ]

   Упростим дробь:

   [ \frac{-9 - 3a}{1 + a} + 9 \geq 0. ]

   Приведем к общему знаменателю:

   [ \frac{-9 - 3a + 9(1 + a)}{1 + a} \geq 0. ]

   Это упрощается до:

   [ \frac{-9 - 3a + 9 + 9a}{1 + a} \geq 0. ]

   [ \frac{6a}{1 + a} \geq 0. ]

5. Решим неравенство:

   [ \frac{6a}{1 + a} \geq 0. ]

   Рассмотрим знак числителя и знаменателя:

   • (6a \geq 0 \Rightarrow a \geq 0 \Rightarrow \log_3 (x) \geq 0 \Rightarrow x \geq 1.)
   • (1 + a > 0 \Rightarrow a > -1 \Rightarrow \log_3 (x) > -1 \Rightarrow x > \frac{1}{3}.)

   Совокупность условий: (x \geq 1).

Ответ:

Для выполнения неравенства ( \log_{3x} \left(\frac{1}{27}\right) \cdot \log_3 (27x) + 9 \geq 0), (x) должно быть больше или равно 1: (x \geq 1).

Для решения данного неравенства, нам нужно использовать свойства логарифмов.

Сначала перепишем данное нам неравенство в более удобной форме, используя свойства логарифмов. Заменим log 3x (1/27) на log 3 (1/27) / log 3 (3x), так как log с основанием 3 отношения чисел равен разности логарифмов этих чисел с тем же основанием.

Итак, получаем: log 3 (1/27) / log 3 (3x) • log 3 (27x) + 9 >= 0

Далее раскроем логарифмы, используя свойство log a (b) = c равносильно a в степени c = b.

Таким образом, получаем: (3x)^(-3) • log 3 (27x) + 9 >= 0

Далее упростим выражение (3x)^(-3) • log 3 (27x) как (1 / 3^3x^3) • log 3 (27x) = (1 / 27x^3) • log 3 (27x)

Подставляем это обратно в неравенство и получаем: (1 / 27x^3) • log 3 (27x) + 9 >= 0

Теперь учитывая, что log 3 (27x) = log 3 (3^3x) = 3 log 3 (3x) = 3, заменим эту часть на 3 и получим: (1 / 27x^3) • 3 + 9 >= 0

Упростим это выражение: 1 / 9x^3 + 9 >= 0

Теперь можем продолжить решение данного неравенства, используя свойства математических операций.

Решение: x > 1/9.