Log3Х + log корень из 3 X + log 1/3 Х = 6

Давайте разберем данное уравнение шаг за шагом:

Уравнение:

[ \log3 X + \log{\sqrt{3}} X + \log_{\frac{1}{3}} X = 6 ]

1. Анализ логарифмов:

Мы имеем три логарифма с разными основаниями: (3), (\sqrt{3}), и (\frac{1}{3}). Чтобы решить это уравнение, нужно преобразовать логарифмы так, чтобы они имели одинаковое основание. Мы знаем формулу для смены основания логарифма:

[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}, ] где (c) — новое основание, которое мы выбираем.

Для упрощения, возьмём основание (3) для всех логарифмов.

Первый логарифм:

[ \log_3 X ] Уже имеет основание (3), оставляем его без изменений.

Второй логарифм ((\log_{\sqrt{3}} X)):

Основание (\sqrt{3}) представим через (3), так как (\sqrt{3} = 3^{1/2}). Используем формулу смены основания: [ \log_{\sqrt{3}} X = \frac{\log_3 X}{\log_3 \sqrt{3}}. ] Теперь найдём (\log_3 \sqrt{3}): [ \log_3 \sqrt{3} = \log3 (3^{1/2}) = \frac{1}{2}. ] Значит: [ \log{\sqrt{3}} X = \frac{\log_3 X}{1/2} = 2 \log_3 X. ]

Третий логарифм ((\log_{\frac{1}{3}} X)):

Основание (\frac{1}{3}) также представим через (3): (\frac{1}{3} = 3^{-1}). Снова используем формулу смены основания: [ \log_{\frac{1}{3}} X = \frac{\log_3 X}{\log_3 (\frac{1}{3})}. ] Теперь найдём (\log_3 (\frac{1}{3})): [ \log_3 (\frac{1}{3}) = \log3 (3^{-1}) = -1. ] Значит: [ \log{\frac{1}{3}} X = \frac{\log_3 X}{-1} = -\log_3 X. ]

2. Подставляем преобразованные логарифмы в уравнение:

Итак, уравнение становится: [ \log_3 X + 2 \log_3 X - \log_3 X = 6. ]

Собираем все логарифмы: [ \log_3 X + 2 \log_3 X - \log_3 X = 6 \quad \Rightarrow \quad 2 \log_3 X = 6. ]

3. Решаем уравнение:

Разделим обе стороны на 2: [ \log_3 X = 3. ]

Теперь используем определение логарифма, чтобы найти (X): [ \log_3 X = 3 \quad \Rightarrow \quad X = 3^3. ]

Посчитаем: [ X = 27. ]

4. Ответ:

[ X = 27. ]

Давайте решим уравнение ( \log3 X + \log{\sqrt{3}} X + \log_{\frac{1}{3}} X = 6 ).

Для начала, упростим выражения с логарифмами. Мы можем использовать свойства логарифмов и преобразовать каждое слагаемое.

1. Преобразование логарифмов:

   • Для ( \log{\sqrt{3}} X ): [ \log{\sqrt{3}} X = \log_{3^{1/2}} X = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_3 X = 2 \log_3 X ]
   • Для ( \log{\frac{1}{3}} X ): [ \log{\frac{1}{3}} X = \log_{3^{-1}} X = -\log_3 X ]

2. Подставим преобразованные логарифмы в уравнение: [ \log_3 X + 2 \log_3 X - \log_3 X = 6 ]

3. Упростим уравнение: [ (1 + 2 - 1) \log_3 X = 6 ] [ 2 \log_3 X = 6 ]

4. Разделим обе стороны на 2: [ \log_3 X = 3 ]

5. Перейдем от логарифма к показательной форме: [ X = 3^3 = 27 ]

Таким образом, решение уравнения ( \log3 X + \log{\sqrt{3}} X + \log_{\frac{1}{3}} X = 6 ) дает нам ( X = 27 ).