Log(8) 1/16- log(8) 32=

Чтобы решить выражение ( \log_8 \left( \frac{1}{16} \right) - \log_8 (32) ), воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что разность логарифмов можно выразить как логарифм частного:

[ \log_a b - \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right) ]

Применим это свойство к нашему выражению:

[ \log_8 \left( \frac{1}{16} \right) - \log_8 (32) = \log_8 \left( \frac{\frac{1}{16}}{32} \right) ]

Теперь упростим дробь:

[ \frac{\frac{1}{16}}{32} = \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{16 \cdot 32} = \frac{1}{512} ]

Таким образом, мы можем переписать наше выражение как:

[ \log_8 \left( \frac{1}{512} \right) ]

Теперь, чтобы найти ( \log_8 \left( \frac{1}{512} \right) ), сначала определим, что ( 512 = 8^3 ), потому что:

[ 512 = 2^9 \quad \text{и} \quad 8 = 2^3 \quad \Rightarrow \quad 8^3 = (2^3)^3 = 2^9 ]

Следовательно, ( \frac{1}{512} = 2^{-9} ).

Теперь мы можем переписать наш логарифм:

[ \log_8 \left( \frac{1}{512} \right) = \log_8 \left( 2^{-9} \right) ]

С помощью свойства логарифмов, мы можем перенести степень:

[ \log_8 \left( 2^{-9} \right) = -9 \cdot \log_8 (2) ]

Теперь нам нужно найти ( \log_8 (2) ). Поскольку ( 8 = 2^3 ), можем использовать свойство логарифмов:

[ \log_8 (2) = \frac{\log_2 (2)}{\log_2 (8)} = \frac{1}{3} ]

Подставляем это значение обратно в выражение:

[ -9 \cdot \log_8 (2) = -9 \cdot \frac{1}{3} = -3 ]

Таким образом, окончательный ответ:

[ \log_8 \left( \frac{1}{16} \right) - \log_8 (32) = -3 ]

Используя свойства логарифмов, можно упростить выражение:

[ \log(8) \frac{1}{16} - \log(8) 32 = \log(8) \left( \frac{1}{16} - 32 \right) ]

Теперь преобразуем значения:

[ \frac{1}{16} = 8^{-2} \quad \text{и} \quad 32 = 8^{\frac{5}{3}} ]

Таким образом, имеем:

[ \log(8) (8^{-2} - 8^{\frac{5}{3}}) ]

Теперь находим общий знаменатель и упрощаем:

[ 8^{-2} - 8^{\frac{5}{3}} = \frac{1}{64} - \frac{32}{1} = \frac{1 - 2048}{64} = \frac{-2047}{64} ]

Подставляем обратно:

[ \log(8) \cdot \left( \frac{-2047}{64} \right) ]

Так как (\log(8) = 3 \log(2)):

[ \frac{-2047 \cdot 3 \log(2)}{64} ]

Ответ будет:

[ \frac{-6141 \log(2)}{64} ]

Или в упрощенном виде:

[ -\frac{2047 \cdot 3}{64} \log(2) ]

Чтобы решить выражение ( \log_8 \frac{1}{16} - \log_8 32 ), нужно воспользоваться свойствами логарифмов. Давайте разберем его шаг за шагом.

Свойства логарифмов:

1. ( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c )
   Это свойство уже используется в выражении, так что мы можем объединить логарифмы: [ \log_8 \frac{1}{16} - \log_8 32 = \log_8 \left( \frac{\frac{1}{16}}{32} \right) = \log_8 \frac{1}{16 \cdot 32}. ]

2. Перемножим числа в знаменателе: [ 16 \cdot 32 = 512, \quad \text{поэтому} \quad \frac{1}{16 \cdot 32} = \frac{1}{512}. ] Таким образом, выражение становится: [ \log_8 \frac{1}{512}. ]

3. Теперь используем свойство логарифма для дробей:
   [ \log_a \frac{1}{b} = -\log_a b. ] Применяя это свойство, получаем: [ \log_8 \frac{1}{512} = -\log_8 512. ]

Вычисление ( \log_8 512 ):

Теперь нужно найти значение ( \log_8 512 ). Логарифм ( \log_8 512 ) означает: "В какую степень нужно возвести 8, чтобы получить 512?"

Посмотрим, можно ли выразить 512 как степень 8: [ 8^1 = 8, \quad 8^2 = 64, \quad 8^3 = 512. ] Значит: [ \log_8 512 = 3. ]

Подставляем обратно:

Теперь подставим это значение в выражение: [ -\log_8 512 = -3. ]

Ответ:

[ \log_8 \frac{1}{16} - \log_8 32 = -3. ]