Мальвина пригласила гостей на свой день рождения и приготовила для них 5 видов пирожных.Каждому гостю досталось по 3 пирожных, причём у всех получился разный набор пирожных.Однако Пьеро заметил, что если бы пришёл ещё один гость, то у кого - то обязательно оказались бы одинаковые наборы пирожных. Сколько гостей было у Мальвины?
Предположим, что у Мальвины было (n) гостей. Тогда всего было приготовлено (5 \cdot 3 = 15) пирожных. Каждый гость получил по 3 пирожных, значит всего было раздано (3n) пирожных.
Так как у каждого гостя был уникальный набор пирожных, то с учётом Пьеро могло бы быть (n+1) гостей, и всего было бы раздано (3(n+1)) пирожных.
Из условия задачи мы знаем, что (3n = 3(n+1) - 1), так как у одного из гостей был бы одинаковый набор пирожных. Решив это уравнение, получим (n = 2).
Итак, у Мальвины было 2 гостя.
Рассмотрим задачу о пирожных с точки зрения комбинаторики. У нас есть 5 видов пирожных, и каждому гостю досталось по 3 пирожных. Нам нужно выяснить, сколько гостей было на дне рождения Мальвины, зная, что у всех гостей были разные наборы пирожных, но если бы пришёл ещё один гость, то у кого-то обязательно оказались бы одинаковые наборы.
Сначала определим, сколько всего возможных наборов по 3 пирожных можно составить из 5 видов пирожных. Для этого используем формулу сочетаний: [ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ] где ( n ) — общее количество элементов (в данном случае 5), а ( k ) — количество выбираемых элементов (в данном случае 3).
Подставим значения в формулу: [ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 ]
Итак, существует 10 уникальных наборов пирожных, которые можно составить из 5 видов пирожных, выбирая по 3 пирожных в каждом наборе.
Пьеро отметил, что если бы пришёл ещё один гость, то у кого-то обязательно оказались бы одинаковые наборы пирожных. Это утверждение указывает на принцип Дирихле. Принцип Дирихле гласит, что если ( n + 1 ) объектов распределить по ( n ) ящикам, то хотя бы в одном ящике окажутся два объекта.
Применим принцип Дирихле к нашей задаче. У нас 10 уникальных наборов пирожных. Это означает, что если бы у нас было 11 гостей, то по принципу Дирихле хотя бы у двух из них были бы одинаковые наборы пирожных.
Следовательно, максимальное количество гостей, которые могли бы получить уникальные наборы пирожных, составляет 10.
Ответ: У Мальвины было 10 гостей.
