Мать троих сыновей оставила утром тарелку слив. Первым проснулся старший сын съел третью часть слив...

Давайте решим задачу по шагам:

Условие задачи

1. Утром на тарелке было неизвестное количество слив, обозначим это число за ( x ).
2. Старший сын съел третью часть слив, оставив ( \frac{2}{3} ) от их первоначального количества.
3. Средний сын съел треть от оставшихся слив, оставив ( \frac{2}{3} ) от того, что осталось после старшего брата.
4. Младший сын также съел треть от оставшихся слив, оставив ( \frac{2}{3} ) от того, что осталось после среднего брата.
5. После действий младшего сына на тарелке осталось 8 слив.

Нужно найти начальное количество слив ( x ), которое мать положила на тарелку.

Решение

1. После того как старший сын съел треть слив, на тарелке осталось: [ x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x ]

2. Затем средний сын съел треть от оставшегося количества: [ \text{Оставшееся количество после среднего сына} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}x = \frac{4}{9}x ]

3. После этого младший сын съел треть от оставшегося количества: [ \text{Оставшееся количество после младшего сына} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{9}x = \frac{8}{27}x ]

4. После действий младшего сына на тарелке осталось 8 слив: [ \frac{8}{27}x = 8 ]

5. Решим это уравнение для ( x ): [ x = 8 \cdot \frac{27}{8} = 27 ]

Ответ

Мать утром положила 27 слив на тарелку.

Проверка

1. Сначала на тарелке было 27 слив.
2. Старший съел ( \frac{1}{3} \cdot 27 = 9 ) слив, осталось ( 27 - 9 = 18 ).
3. Средний съел ( \frac{1}{3} \cdot 18 = 6 ) слив, осталось ( 18 - 6 = 12 ).
4. Младший съел ( \frac{1}{3} \cdot 12 = 4 ) сливы, осталось ( 12 - 4 = 8 ).
5. Всё совпадает, задача решена верно.

Обозначим количество слив, которое мать положила на тарелку, как ( x ).

1. Старший сын съел третью часть слив: ( \frac{x}{3} ). Осталось ( x - \frac{x}{3} = \frac{2x}{3} ).
2. Средний сын съел третью часть оставшихся слив: ( \frac{1}{3} \cdot \frac{2x}{3} = \frac{2x}{9} ). Осталось ( \frac{2x}{3} - \frac{2x}{9} = \frac{6x}{9} - \frac{2x}{9} = \frac{4x}{9} ).
3. Младший сын съел третью часть оставшихся слив: ( \frac{1}{3} \cdot \frac{4x}{9} = \frac{4x}{27} ). Осталось ( \frac{4x}{9} - \frac{4x}{27} = \frac{12x}{27} - \frac{4x}{27} = \frac{8x}{27} ).

После этого на тарелке осталось 8 слив:

[ \frac{8x}{27} = 8 ]

Умножим обе стороны уравнения на 27:

[ 8x = 216 ]

Теперь делим обе стороны на 8:

[ x = 27 ]

Таким образом, мать утром положила на тарелку 27 слив.

Давайте обозначим количество слив, которое мать положила на тарелку, как ( x ).

1. Старший сын проснулся первым и съел третью часть слив: [ \text{Сливы, которые съел старший сын} = \frac{x}{3} ] После его ухода на тарелке осталось: [ x - \frac{x}{3} = \frac{2x}{3} ]

2. Средний сын проснулся следующим и также съел третью часть оставшихся слив: [ \text{Сливы, которые съел средний сын} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2x}{3} = \frac{2x}{9} ] После его ухода на тарелке осталось: [ \frac{2x}{3} - \frac{2x}{9} ] Для удобства приведем дроби к общему знаменателю: [ \frac{2x}{3} = \frac{6x}{9} ] Тогда: [ \frac{6x}{9} - \frac{2x}{9} = \frac{4x}{9} ]

3. Младший сын проснулся последним и съел третью часть оставшихся слив: [ \text{Сливы, которые съел младший сын} = \frac{1}{3} \cdot \frac{4x}{9} = \frac{4x}{27} ] После его ухода на тарелке осталось: [ \frac{4x}{9} - \frac{4x}{27} ] Приводим дроби к общему знаменателю: [ \frac{4x}{9} = \frac{12x}{27} ] Тогда: [ \frac{12x}{27} - \frac{4x}{27} = \frac{8x}{27} ]

После того как все сыновья поели, на тарелке осталось 8 слив, что можно записать как уравнение: [ \frac{8x}{27} = 8 ]

Теперь решим это уравнение: [ 8x = 8 \cdot 27 ] [ 8x = 216 ] [ x = \frac{216}{8} = 27 ]

Таким образом, мать утром положила на тарелку 27 слив.