Материальная точка движется по закону x(t)=1/4t^4+t^2. Найти скорость и ускорение в момент времени t=5с...

Для нахождения скорости и ускорения материальной точки в момент времени t=5с необходимо взять производные от функции x(t)=1/4t^4+t^2.

1. Сначала найдем производную функции x(t) по времени t, чтобы найти скорость v(t): v(t) = dx/dt = d/dt(1/4t^4 + t^2) = 4/4*t^3 + 2t = t^3 + 2t

2. Теперь найдем ускорение a(t) как производную скорости v(t) по времени t: a(t) = dv/dt = d/dt(t^3 + 2t) = 3t^2 + 2

3. Подставим значение времени t=5с в полученные формулы: v(5) = 5^3 + 25 = 125 + 10 = 135 м/с (скорость в момент времени t=5с) a(5) = 35^2 + 2 = 3*25 + 2 = 75 + 2 = 77 м/с^2 (ускорение в момент времени t=5с)

Таким образом, скорость материальной точки в момент времени t=5с составляет 135 м/с, а ускорение - 77 м/с^2.

Чтобы найти скорость и ускорение материальной точки в заданный момент времени, нам нужно воспользоваться производными функции перемещения ( x(t) ).

Шаг 1: Найти скорость

Скорость ( v(t) ) — это первая производная функции перемещения ( x(t) ) по времени ( t ):

[ v(t) = \frac{dx}{dt} ]

Дана функция перемещения:

[ x(t) = \frac{1}{4}t^4 + t^2 ]

Найдем первую производную:

[ v(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{4}t^4 + t^2\right) = \frac{1}{4} \cdot 4t^3 + 2t = t^3 + 2t ]

Теперь подставим ( t = 5 ) секунд, чтобы найти скорость в этот момент:

[ v(5) = 5^3 + 2 \cdot 5 = 125 + 10 = 135 \text{ м/с} ]

Шаг 2: Найти ускорение

Ускорение ( a(t) ) — это вторая производная функции перемещения ( x(t) ) по времени ( t ), или первая производная функции скорости ( v(t) ):

[ a(t) = \frac{dv}{dt} ]

Возьмем производную от скорости:

[ a(t) = \frac{d}{dt}(t^3 + 2t) = 3t^2 + 2 ]

Теперь подставим ( t = 5 ) секунд, чтобы найти ускорение в этот момент:

[ a(5) = 3 \cdot 5^2 + 2 = 3 \cdot 25 + 2 = 75 + 2 = 77 \text{ м/с}^2 ]

Ответ

В момент времени ( t = 5 ) секунд:

• Скорость материальной точки составляет ( 135 \text{ м/с} ).
• Ускорение материальной точки составляет ( 77 \text{ м/с}^2 ).