Моторная лодка прошла 16 км против течения реки и 12 км по течению реки,затратив на весь путь 3 часа....

Для решения задачи о скорости моторной лодки нам нужно использовать основные формулы движения и учесть влияние течения реки. Давайте обозначим скорость моторной лодки относительно воды как ( v ) км/ч.

Шаг 1: Записываем основные уравнения

1. Против течения реки:

   • Эффективная скорость лодки против течения будет ( v - 2 ) км/ч (так как скорость течения реки 2 км/ч).
   • Время, затраченное на прохождение 16 км против течения: [ t_1 = \frac{16}{v - 2} ]

2. По течению реки:

   • Эффективная скорость лодки по течению будет ( v + 2 ) км/ч.
   • Время, затраченное на прохождение 12 км по течению: [ t_2 = \frac{12}{v + 2} ]

Шаг 2: Суммируем время

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 3 часа. Значит: [ t_1 + t_2 = 3 ]

Подставляем выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ): [ \frac{16}{v - 2} + \frac{12}{v + 2} = 3 ]

Шаг 3: Решаем уравнение

Для решения этого уравнения найдем общий знаменатель: [ \frac{16(v + 2) + 12(v - 2)}{(v - 2)(v + 2)} = 3 ]

Раскроем скобки числителя: [ \frac{16v + 32 + 12v - 24}{v^2 - 4} = 3 ]

Упростим числитель: [ \frac{28v + 8}{v^2 - 4} = 3 ]

Теперь умножим обе части уравнения на ( v^2 - 4 ), чтобы избавиться от знаменателя: [ 28v + 8 = 3(v^2 - 4) ]

Раскроем скобки: [ 28v + 8 = 3v^2 - 12 ]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: [ 3v^2 - 28v - 20 = 0 ]

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

Для решения квадратного уравнения ( 3v^2 - 28v - 20 = 0 ) используем формулу корней квадратного уравнения: [ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 3 ), ( b = -28 ), ( c = -20 ).

Подставляем значения: [ v = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 240}}{6} ] [ v = \frac{28 \pm \sqrt{1024}}{6} ] [ v = \frac{28 \pm 32}{6} ]

Получаем два корня: [ v_1 = \frac{60}{6} = 10 ] [ v_2 = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} ]

Шаг 5: Проверка решений

Скорость не может быть отрицательной, поэтому ( v = -\frac{2}{3} ) не подходит. Остается единственный положительный корень: [ v = 10 \text{ км/ч} ]

Ответ

Скорость моторной лодки относительно воды составляет 10 км/ч.

Пусть скорость моторной лодки в стоячей воде равна V км/ч. Тогда скорость лодки против течения будет равна V-2 км/ч, а скорость лодки по течению - V+2 км/ч.

Для расчета времени движения лодки в обоих направлениях можно воспользоваться формулой времени: время = расстояние / скорость.

Таким образом, время движения против течения: 16 / (V-2) и время движения по течению: 12 / (V+2).

По условию задачи сумма времени движения в обоих направлениях равна 3 часам. Поэтому уравнение будет выглядеть следующим образом: 16 / (V-2) + 12 / (V+2) = 3.

Решив данное уравнение, мы найдем значение скорости моторной лодки V.