Муха прыгает по длинной лестнице она может прыгать или на 3 ступеньки вверх или на 4 ступеньки вниз...

Для решения задачи необходимо учитывать, что муха может прыгать только двумя способами: на 3 ступеньки вверх или на 4 ступеньки вниз. Это типичная задача из области диофантовых уравнений, где мы ищем минимальное количество прыжков для достижения заданного уровня (22-й ступеньки).

Обозначения и уравнение

Пусть:

• ( x ) — количество прыжков на 3 ступеньки вверх,
• ( y ) — количество прыжков на 4 ступеньки вниз.

Тогда общее изменение высоты при ( x ) прыжках вверх и ( y ) прыжках вниз задаётся следующим уравнением: [ 3x - 4y = 22. ] Задача заключается в том, чтобы найти такие целые неотрицательные значения ( x ) и ( y ), которые удовлетворяют этому уравнению, при минимальном общем количестве прыжков: [ x + y \to \min. ]

Решение уравнения

Уравнение ( 3x - 4y = 22 ) является линейным диофантовым уравнением. Оно имеет решения, если наибольший общий делитель коэффициентов при ( x ) и ( y ), то есть (\text{НОД}(3, 4) = 1), делит свободный член (22). В данном случае это условие выполняется, значит, решения существуют.

1. Найдём частное решение уравнения

Для этого подберём ( x ) и ( y ), которые удовлетворяют уравнению ( 3x - 4y = 22 ). Подбираем вручную:

• Если ( x = 10 ), то ( 3 \cdot 10 = 30 ), и ( 30 - 4y = 22 ), отсюда ( 4y = 8 ) и ( y = 2 ).

Итак, одно частное решение уравнения: [ x = 10, \quad y = 2. ]

2. Общее решение уравнения

Общее решение линейного диофантового уравнения можно записать в виде: [ x = x_0 + 4k, \quad y = y_0 + 3k, ] где ( (x_0, y_0) ) — частное решение, а ( k ) — произвольное целое число. Подставляем ( x_0 = 10 ), ( y_0 = 2 ): [ x = 10 + 4k, \quad y = 2 + 3k. ]

3. Условие неотрицательности

Так как ( x \geq 0 ) и ( y \geq 0 ), найдём допустимые значения ( k ).

1. Для ( x \geq 0 ): [ 10 + 4k \geq 0 \quad \Rightarrow \quad k \geq -\frac{10}{4} \quad \Rightarrow \quad k \geq -2.5. ] То есть ( k \geq -2 ).

2. Для ( y \geq 0 ): [ 2 + 3k \geq 0 \quad \Rightarrow \quad k \geq -\frac{2}{3}. ] То есть ( k \geq 0 ).

Таким образом, ( k \geq 0 ) (так как это более строгое ограничение).

4. Минимизация количества прыжков

Общее количество прыжков равно ( x + y ): [ x + y = (10 + 4k) + (2 + 3k) = 12 + 7k. ] Для минимизации ( x + y ) нужно взять минимальное значение ( k ), то есть ( k = 0 ).

Подставляем ( k = 0 ): [ x = 10 + 4 \cdot 0 = 10, \quad y = 2 + 3 \cdot 0 = 2. ] Общее количество прыжков: [ x + y = 10 + 2 = 12. ]

Ответ

Наименьшее число прыжков, за которое муха может добраться до 22-й ступеньки, равно 12. При этом муха совершит 10 прыжков вверх (на 3 ступеньки) и 2 прыжка вниз (на 4 ступеньки).

Чтобы решить задачу о мухи, которая прыгает по лестнице, давайте сначала разберем, что она может делать:

• Муха может прыгать на 3 ступеньки вверх.
• Муха может прыгать на 4 ступеньки вниз.

Мы хотим выяснить, сколько минимально прыжков ей потребуется, чтобы добраться с земли (0-я ступенька) до 22-й ступеньки.

Прежде всего, рассмотрим, что если муха прыгает только вверх, ей потребуется: [ \frac{22}{3} \approx 7.33 ] Это означает, что, если бы она могла прыгать только вверх, ей понадобилось бы 8 прыжков (потому что 8 прыжков на 3 ступеньки дадут 24 ступеньки, что больше 22).

Однако, поскольку муха также может прыгать вниз, давайте проанализируем, как она может использовать эти прыжки.

1. Пусть ( x ) – это количество прыжков вверх, а ( y ) – количество прыжков вниз.
2. С учетом того, что каждый прыжок вверх добавляет 3 ступеньки, а каждый прыжок вниз убирает 4 ступеньки, мы можем записать уравнение: [ 3x - 4y = 22 ]

Наша цель – минимизировать общее количество прыжков ( x + y ).

Теперь давайте выразим ( y ) через ( x ): [ 4y = 3x - 22 \implies y = \frac{3x - 22}{4} ] Для того чтобы ( y ) было целым числом, ( 3x - 22 ) должно быть кратно 4. Рассмотрим это уравнение по модулю 4: [ 3x \equiv 22 \mod 4 ] Так как ( 22 \mod 4 = 2 ), то: [ 3x \equiv 2 \mod 4 ] Теперь найдем возможные значения ( x ) для этого условия. Мы можем проверить несколько целых значений ( x ):

• ( x = 0 ) даёт ( 3 \cdot 0 \equiv 0 )
• ( x = 1 ) даёт ( 3 \cdot 1 \equiv 3 )
• ( x = 2 ) даёт ( 3 \cdot 2 \equiv 2 ) (подходит)
• ( x = 3 ) даёт ( 3 \cdot 3 \equiv 1 )
• ( x = 4 ) даёт ( 3 \cdot 4 \equiv 0 )
• ( x = 5 ) даёт ( 3 \cdot 5 \equiv 3 )
• ( x = 6 ) даёт ( 3 \cdot 6 \equiv 2 ) (подходит)
• и так далее.

Таким образом, ( x ) может быть равно ( 2, 6, 10, \ldots ) (все числа вида ( x = 4k + 2 ) для ( k ) – целое число).

Теперь подставим эти значения в уравнение для ( y ):

1. Для ( x = 2 ): [ y = \frac{3 \cdot 2 - 22}{4} = \frac{6 - 22}{4} = -4 \quad (\text{не подходит}) ]

2. Для ( x = 6 ): [ y = \frac{3 \cdot 6 - 22}{4} = \frac{18 - 22}{4} = -1 \quad (\text{не подходит}) ]

3. Для ( x = 10 ): [ y = \frac{3 \cdot 10 - 22}{4} = \frac{30 - 22}{4} = \frac{8}{4} = 2 \quad (\text{подходит}) ]

Таким образом, ( x = 10 ) и ( y = 2 ) дают: [ x + y = 10 + 2 = 12 ]

Теперь проверим, можно ли уменьшить количество прыжков. Для ( x = 14 ): [ y = \frac{3 \cdot 14 - 22}{4} = \frac{42 - 22}{4} = \frac{20}{4} = 5 ] ( x + y = 14 + 5 = 19 ), что больше.

Таким образом, муха может добраться до 22-й ступеньки за 12 прыжков, используя 10 прыжков вверх и 2 прыжка вниз.

Ответ: 12 прыжков.